Untersuche die gegenseitige Lage der gegebenen Ebenen in Koordinatenform. Bestimme die Schnittgerade, falls sich die Ebenen schneiden.
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1) Du eliminierst mit Hilfe des Einsetzungsverfahrens eine Variable aus den beiden Ebenengleichungen.
2) Anhand der erhaltenen Gleichung erkennst Du welche der drei Lösungsmöglichkeiten für ein lineares Gleichungssystem eintritt.
Gegeben sind die beiden Ebenen:
Die beiden Ebenengleichungen zusammen bilden ein lineares Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und drei Unbekannten. Es ist also ein unterbestimmtes Gleichungssystem.
Gleichungssystem lösen
Löse eine der beiden Gleichungen nach einer der Variablen auf,
z.B. die erste Gleichung nach .
Umformung: +x_1-2x_2
Setze dies in die Gleichung ein.
in :
Setze ein.
Multipliziere die Klammer aus.
Fasse zusammen.
Umformung: -3
Vereinfache die Gleichung, indem du die konstanten Terme auf dieselbe Seite bringst und zusammenrechnest.
Umformung: -4x_1
Löse diese Gleichung jetzt nach einer der Variablen auf, zum Beispiel nach .
Umformung: :\left(-2\right)
Setze dies wiederum in ein.
in :
Setze ein.
Löse die Klammer auf.
Fasse zusammen.
Das ist die neue Gleichung, die du statt Gleichung nun erhalten hast.
Da das Gleichungssytem zwar drei Unbekannte enthält, aber nur aus zwei Gleichungen besteht, ist es unterbestimmt. Das heißt, es wird keine eindeutig bestimmte Lösung dazu geben.
Du hast jedoch mit den Gleichungen und das Gleichungssystem so umgeformt, dass du und in Abhängigkeit von dargestellt hast.
Betrachte nun als Parameter, der einen beliebigen reellen Wert annehmen kann, und wähle dafür geeigneter Weise irgendeinen für Parameter "üblichen" Buchstaben als Bezeichnung.
Setze . Dadurch kannst du , und in Abhängigkeit von t ausdrücken.
Damit kannst du die Lösungsmenge angeben.
Gleichung der Schnittgerade angeben
Mit Vektoren geschrieben, sieht die Lösungsmenge folgendermaßen aus:
Antwort: Die gesuchte Schnittgerade der beiden Ebenen hat die Gleichung:
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1) Du eliminierst mit Hilfe des Additionsverfahrens eine Variable aus den beiden Ebenengleichungen.
2) Anhand der erhaltenen Gleichung erkennst Du welche der drei Lösungsmöglichkeiten für ein lineares Gleichungssystem eintritt.
Gegeben sind die beiden Ebenen:
Die beiden Ebenengleichungen zusammen bilden ein lineares Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und drei Unbekannten. Es ist also ein unterbestimmtes Gleichungssystem.
Gleichungssystem lösen
Nutze zum Beispiel das Additionsverfahren, um eine der Variablen zu eliminieren. Zum Beispiel: Durch die Rechnung eliminierst du sogar 2 Unbekannte.
Löse die entstandene Gleichung nach der verbleibenden Variable auf.
Umformung: :5
Setze in ein, um oder in Abhängigkeit zueinander darzustellen:
Setze ein.
Umformung: -3
Drücke in Abhängigkeit von aus und bringe alle Terme ohne auf die rechte Seite.
Umformung: -2x_3
Umformung: :\left(-4\right)
Kürze die Brüche.
Wähle nun . Dadurch kannst du , und in Abhängigkeit von ausdrücken.
Somit hat die Lösungsmenge des Gleichungssystems folgende Form:
Gleichung der Schnittgeraden angeben
Mit Vektoren geschrieben sieht die Lösungsmenge folgendermaßen aus:
Antwort: Die gesuchte Schnittgerade der beiden Ebenen hat die Gleichung:
zusätzliche graphische Darstellung
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1) Du eliminierst mit Hilfe des Additionsverfahrens eine Variable aus den beiden Ebenengleichungen.
2) Anhand der erhaltenen Gleichung erkennst Du welche der drei Lösungsmöglichkeiten für ein lineares Gleichungssystem eintritt.
Gegeben sind die beiden Ebenen:
Die beiden Ebenengleichungen zusammen bilden ein lineares Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und drei Unbekannten. Es ist also ein unterbestimmtes Gleichungssystem.
Gleichungssystem lösen
Nutze zum Beispiel das Additionsverfahren, um mindestens eine der Variablen zu eliminieren. Rechne zum Beispiel:
Da das Ergebnis aus der Addition der Gleichungen eine Gleichung ist, die immer richtig ist (), sind die beiden Gleichungen und identisch. Somit sind die Ebenen auch gleich und liegen aufeinander.
Lösung: Die Ebenen sind identisch.
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1) Du eliminierst mit Hilfe des Additionsverfahrens eine Variable aus den beiden Ebenengleichungen.
2) Anhand der erhaltenen Gleichung erkennst Du welche der drei Lösungsmöglichkeiten für ein lineares Gleichungssystem eintritt.
Gegeben sind die beiden Ebenen:
Die beiden Ebenengleichungen zusammen bilden ein lineares Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und drei Unbekannten. Es ist also ein unterbestimmtes Gleichungssystem.
Gleichungssystem lösen
Nutze zum Beispiel das Additionsverfahren, um mindestens eine der Variablen zu eliminieren. Rechne zum Beispiel:
Es existiert keine Lösung des linearen Gleichungssystems. Die Gleichung, die sich aus der Addition der Gleichungen und ergibt, ist immer falsch (). Daher sind die Ebenen parallel zueinander.
Antwort: Die Ebenen verlaufen echt parallel zueinander.
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1) Du eliminierst mit Hilfe des Additionsverfahrens eine Variable aus den beiden Ebenengleichungen.
2) Anhand der erhaltenen Gleichung erkennst Du welche der drei Lösungsmöglichkeiten für ein lineares Gleichungssystem eintritt.
Gegeben sind die beiden Ebenen:
Die beiden Ebenengleichungen bilden ein lineares Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und drei Unbekannten. Es ist also ein unterbestimmtes Gleichungsystem.
Gleichungssystem lösen
Nutze zum Beispiel das Additionsverfahren, um mindestens eine der Variablen zu eliminieren. Rechne zum Beispiel:
Die neu entstandene Gleichung kannst du nun nach auflösen.
Umformung: +2x_3
Umformung: :5
Wandle in Dezimalbrüche um.
Nun hast du in Abhängigkeit von dargestellt. Stelle nun auch noch in Abhängigkeit von dar. Setze dafür zum Beispiel Gleichung in Gleichung ein und löse nach auf:
in :
Setze ein.
Löse die Klammer auf.
Vereinfache.
Umformung: -0,8+0,6x_3
Löse nach auf.
Wähle nun . Dadurch kannst du , und in Abhängigkeit von ausdrücken.
Somit hat die Lösungsmenge des Gleichungssystems folgende Form:
Gleichung der Schnittgeraden angeben
Mit Vektoren geschrieben sieht die Lösungsmenge folgendermaßen aus:
Das ist die Gleichung der Schnittgeraden zwischen den beiden Ebenen.
Antwort: Die gesuchte Schnittgerade der beiden Ebenen und hat die Gleichung:
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1) Du eliminierst mit Hilfe des Additionsverfahrens eine Variable aus den beiden Ebenengleichungen.
2) Anhand der erhaltenen Gleichung erkennst Du welche der drei Lösungsmöglichkeiten für ein lineares Gleichungssystem eintritt.
Gegeben sind die beiden Ebenen:
Die beiden Ebenengleichungen bilden ein lineares Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und drei Unbekannten, es ist also ein unterbestimmtes Gleichungssystem.
Lösen des Gleichungssystems
Nutze zum Beispiel das Additionsverfahren, um mindestens eine der Variablen zu eliminieren. Rechne zum Beispiel:
Es existiert keine Lösung des linearen Gleichungssystems. Die Gleichung, die sich aus der Addition der Gleichungen und ergibt, ist immer falsch (). Daher sind die Ebenen parallel zueinander.
Antwort: Die beiden Ebenen und sind parallel zueinander.
zusätzliche graphische Darstellung
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1) Du eliminierst mit Hilfe des Additionsverfahrens eine Variable aus den beiden Ebenengleichungen.
2) Anhand der erhaltenen Gleichung erkennst Du welche der drei Lösungsmöglichkeiten für ein lineares Gleichungssystem eintritt.
Gegeben sind die beiden Ebenen:
Die beiden Ebenengleichungen bilden ein lineares Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und drei Unbekannten, es ist also ein unterbestimmtes Gleichungssystem.
Lösen des Gleichungssystems
Nutze zum Beispiel das Additionsverfahren, um mindestens eine der Variablen zu eliminieren. Rechne zum Beispiel:
Löse die entstandene Gleichung nach auf.
Umformung: :11
Setze nun Gleichung z. B. in Gleichung ein und löse nach auf:
Setze ein.
Umformung: +x_1-10
Löse nach auf.
Addiere die Zahlen.
Du hast nun in Abhängigkeit von dargestellt. Für kannst Du z. B. den Parameter setzen. Dadurch kannst du , und in Abhängigkeit von ausdrücken.
Somit hat die Lösungsmenge des Gleichungssystems folgende Form:
Gleichung der Schnittgeraden angeben
Mit Vektoren geschrieben sieht die Lösungsmenge folgendermaßen aus:
Das ist die Gleichung der Schnittgeraden zwischen den beiden Ebenen.
Antwort: Die gesuchte Schnittgerade der beiden Ebenen und hat die Gleichung:
zusätzliche Visualisierung der Ebenen
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1) Du eliminierst mit Hilfe des Additionsverfahrens eine Variable aus den beiden Ebenengleichungen.
2) Anhand der erhaltenen Gleichung erkennst Du welche der drei möglichen Lösungsmöglichkeiten für ein lineares Gleichungssystem eintritt.
Gegeben sind die beiden Ebenen:
Die beiden Ebenengleichungen bilden ein lineares Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und drei Unbekannten, es ist also ein unterbestimmtes Gleichungssystem.
Lösen des Gleichungssystems
Forme noch so um, dass die 6 auf der rechten Seite steht.
Nutze zum Beispiel das Additionsverfahren, um mindestens eine der Variablen zu eliminieren. Rechne zum Beispiel:
Da das Ergebnis aus der Addition der Gleichungen eine Gleichung ist, die immer richtig ist (), sind die beiden Gleichungen und identisch. Somit sind die Ebenen auch gleich und liegen aufeinander.
Antwort: Die beiden Ebenen und sind identisch.
zusätzliche graphische Darstellung
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1) Du eliminierst mit Hilfe des Additionsverfahrens eine Variable aus den beiden Ebenengleichungen.
2) Anhand der erhaltenen Gleichung erkennst Du welche der drei Lösungsmöglichkeiten für ein lineares Gleichungssystem eintritt.
Gegeben sind die beiden Ebenen:
Die beiden Ebenengleichungen bilden ein lineares Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und drei Unbekannten, es ist also ein unterbestimmtes Gleichungsystem.
Lösen des Gleichungssystems
Nutze zum Beispiel das Additionsverfahren, um mindestens eine der Variablen zu eliminieren. Rechne zum Beispiel:
Löse die entstandene Gleichung nach oder auf. Auflösen nach ergibt:
Umformung: +18x_3
Umformung: :3
Setze nun die neue Gleichung z. B. in Gleichung ein und löse nach auf:
Setze ein.
Fasse zusammen.
Umformung: +10-15x_3
Löse nach auf.
Umformung: :5
Du hast nun und in Abhängigkeit von dargestellt. Für kannst Du z. B. den Parameter setzen.
Somit hat die Lösungsmenge des Gleichungssystems folgende Form:
Gleichung der Schnittgeraden angeben
Mit Vektoren geschrieben sieht die Lösungsmenge folgendermaßen aus:
Das ist die Gleichung der Schnittgeraden zwischen den beiden Ebenen.
Antwort: Die gesuchte Schnittgerade der beiden Ebenen und hat die Gleichung:
zusätzliche graphische Darstellung
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1) Du eliminierst mit Hilfe des Additionsverfahrens eine Variable aus den beiden Ebenengleichungen.
2) Anhand der erhaltenen Gleichung erkennst Du welche der drei Lösungsmöglichkeiten für ein lineares Gleichungssystem eintritt.
Gegeben sind die beiden Ebenen:
Die beiden Ebenengleichungen bilden ein lineares Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und drei Unbekannten, es ist also ein unterbestimmtes Gleichungsystem.
Lösen des Gleichungssystems
Nutze zum Beispiel das Additionsverfahren, um mindestens eine der Variablen zu eliminieren. Rechne zum Beispiel:
Löse die entstandene Gleichung nach oder auf. Auflösen nach ergibt:
Umformung: +2x_3-12
Umformung: :2
Setze nun Gleichung z. B. in Gleichung ein und löse nach auf:
Setze ein.
Löse die Klammer auf.
Vereinfache.
Umformung: -18+12,5x_2
Löse nach auf.
Du hast nun und in Abhängigkeit von dargestellt. Für kannst Du z. B. den Parameter setzen.
Somit hat die Lösungsmenge des Gleichungssystems folgende Form:
Gleichung der Schnittgeraden angeben
Mit Vektoren geschrieben sieht die Lösungsmenge folgendermaßen aus:
Das ist die Gleichung der Schnittgeraden zwischen den beiden Ebenen.
Antwort: Die gesuchte Schnittgerade der beiden Ebenen und hat die Gleichung:
zusätzliche graphische Darstellung
Lösung anzeigen
1) Du eliminierst mit Hilfe des Additionsverfahrens eine Variable aus den beiden Ebenengleichungen.
2) Anhand der erhaltenen Gleichung erkennst Du welche der drei Lösungsmöglichkeiten für ein lineares Gleichungssystem eintritt.
Gegeben sind die beiden Ebenen:
Die beiden Ebenengleichungen bilden ein lineares Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und drei Unbekannten, es ist also ein unterbestimmtes Gleichungsystem.
Lösen des Gleichungssystems
Nutze zum Beispiel das Additionsverfahren, um mindestens eine der Variablen zu eliminieren. Rechne zum Beispiel:
Löse die neu entstandene Gleichung nach auf.
Umformung: +x_1-18
Setze nun Gleichung z. B. in Gleichung ein und löse nach auf:
Setze ein.
Umformung: -4+2x_2
Umformung: :2
Du hast nun und in Abhängigkeit von dargestellt. Für kannst Du z. B. den Parameter setzen. Somit hat die Lösungsmenge des Gleichungssystems folgende Form:
Gleichung der Schnittgeraden angeben
Mit Vektoren geschrieben sieht die Lösungsmenge folgendermaßen aus:
Das ist die Gleichung der Schnittgeraden zwischen den beiden Ebenen.
Antwort: Die gesuchte Schnittgerade der beiden Ebenen und hat die Gleichung:
zusätzliche graphische Darstellung
