Gegeben sind die quadratischen Funktionen und mit und
Zeichne die Graphen von und in ein Koordinatensystem. Begründe ohne Rechnung, warum sich und auf der x-Achse schneiden.
ist der Scheitel von .
Gib den Scheitel von an.
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Damit die Graphen die x-Achse schneiden/berühren können, muss der y-Wert gleich 0 sein. Nullstelle . Man sieht sofort, dass bei beiden Funktionen, wenn für x 0 eingesetzt wird, der y-Wert auch 0 wird. Daraus folgt, dass sich die Funktionen in diesem Punkt schneiden müssen.
Die zweite Nullstelle muss berechnet werden, man kann sie nicht einfach ablesen.
gleich 0 setzen.
Umformung: +x^2
Umformung: :x
gleich 0 setzen.
Nur einer der Faktoren muss Null ergeben, um die ganze Funktion gleich 0 werden zu lassen.
Die beiden Graphen haben zwei gleiche Nullstellen, schneiden sich also zweimal auf der x-Achse.
Scheitel bestimmen
Scheitelform bestimmen. Dafür erst das x in die Klammer multiplizieren. Distributivgesetz
In eine Binomische Formel umformen.
Umformung: \left(\frac{3}{2}\right)^2=\frac{9}{4}
Distributivgesetz anwenden.
Umformung: 0,5=\frac{1}{2}
Multiplikation
Anmerkung: Auf die x-Koordinate des Scheitels hätte man auch sofort schließen können, da sich diese aufgrund der Symmetrie der Parabel als arithmetisches Mittel der Nullstellen ergibt.
Die Gerade schneidet den Graphen von im Punkt und den Graphen von im Punkt . Gib und an.
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Einsetzen von in :
Ablesen der Koordinaten.
Einsetzen von in :
Rechtecke
Für ist die Strecke [PQ] eine Seite eines Rechtecks, das den beiden Parabeln einbeschrieben ist. Bestimme den Inhalt des Rechtecks für und den Umfang in Abhängigkeit von .
Im Bild ist :
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Es gilt:
Wegen der Achsensymmetrie der beiden Parabeln zur Geraden , gilt für die x-Koordinate der Punkte und :
Damit folgt: und für ergibt sich:
Da für die Funktion oberhalb von verläuft, können die Betragsstriche auch weggelassen werden, also .
Für gilt somit für den Flächeninhalt des Rechtecks PQRS:
Der Umfang beträgt allgemein:
Verschiebe die Parabel in y-Richtung so, dass die verschobene Parabel den Graphen von berührt. Bestimme die Koordinaten des Berührpunktes .
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Damit sich die Graphen der Funktion und der verschobenen Funktion an der Stelle berühren, muss zunächst gelten. Um sicherzustellen, dass ein Berührpunkt vorliegt, musst du zeigen, dass die Funktion bei eine doppelte Nullstelle besitzt.
Damit sich eine doppelte Nullstelle ergibt, muss für die Diskriminante gelten.
Die x-Koordinate des Berührpunkts ergibt sich dann als .
Da dies auch die x-Koordinate des Scheitels des Graphen von ist, gilt:.
Bestimme so, dass ist.
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Binomische Formel ausmultiplizieren:
Für muss also gelten.