Gegeben ist die Funktion f mit dem Graphen , der Definitionsmenge und dem Funktionsterm
Zeige, dass der Term der zweiten Ableitung ist.
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Leite mithilfe der Ableitungsregeln für Potenzfunktionen, für Faktoren und für Summen/Differenzen ab:
Treffe eine Aussage über die Symmetrie von , und .
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Für eine ganzrationale Polynomfunktion gilt:
Sind alle Potenzen von x gerade, so ist der zugehörige Graph achsensymmetrisch. Sind alle Potenzen von x ungerade, so ist der zugehörige Graph punktsymmetrisch.
Symmetrie von
Da alle Potenzen gerade sind, ist symmetrisch zur y-Achse.
Symmetrie von
Da alle Potenzen ungerade sind, ist symmetrisch zum Ursprung.
Symmetrie von
Da alle Potenzen gerade sind, ist symmetrisch zur y-Achse.
Ermittle alle Stellen lokal stärkster Zu- oder Abnahme von
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Die Stellen lokal stärkster Zunahme sind die Hochpunkte von , die oberhalb der x-Achse liegen und die Stellen lokal stärkster Abnahme sind die Tiefpunkte, die unterhalb der x-Achse liegen.
Nullstellen der 2. Ableitung
Die Kandidaten für Extremstellen der 1. Ableitung bekommst du, indem du die Nullstellen der 2. Ableitung bestimmst.
Da es sich um eine biquadratische Gleichung handelt, kann mit substituiert werden:
Substituiere:
Mithilfe der Mitternachtsformel kannst du die neue Gleichung lösen:
Es ergeben sich die Lösungen und
Vergiss nicht die Rücksubstitution. Für ergibt sich:
Ersetze
Radiziere. Es gibt zwei Lösungen!
Das gleiche nochmal für
Ersetze
Aus einer negativen Zahl kann keine Wurzel gezogen werden.
Keine weitere Lösung.
Art der Extremstelle
Mithilfe einer Monotonietabelle für oder mithilfe der 3. Ableitung kann die Art der Extremstelle bestimmt werden. Hier ist die Lösung mithilfe der 3. Ableitung dargestellt:
Setze und jeweils in ein:
- , also Tiefpunkt von bei
- , also Hochpunkt von bei
(Hinweis: Du könntest auch durch die Punktsymmetrie der 1. Ableitung direkt darauf schließen, dass das Verhalten bei gespiegelt auch für gelten muss.)
Lage des Extrempunkts bzgl. der x-Achse
Damit es sich um eine Stelle lokal stärkster Abnahme handelt, müsste der Tiefpunkt von bei unterhalb der x-Achse liegen. Setze den Wert in f' ein, um den Wert zu erhalten und zu entscheiden, ob für hier generell eine Zunahme oder Abnahme vorliegt.
, also hier unterhalb der x-Achse und somit eine Stelle lokal stärkster Abnahme.
Analog gilt für die Stelle stärkster Zunahme, dass der Hochpunkt von bei oberhalb von der x-Achse liegen muss.
, also hier oberhalb von der x-Achse und somit Stelle lokal stärkster Zunahme.
(Hinweis: Du könntest auch durch die Punktsymmetrie der 1. Ableitung direkt darauf schließen, dass das Verhalten bei gespiegelt auch für gelten muss.)
Begründe ohne weitere Rechnung, warum bei ein Tiefpunkt vorliegt und treffe eine Aussage über Art und ungefähre Lage weiterer Extrempunkte.
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Extrempunkt bei x=0
Durch Faktorisieren erhält man den Term:
Da ein Produkt genau dann 0 ist, wenn eines seiner Faktoren 0 ist, hat die Funktion eine doppelte Nullstelle (Nullstelle mit Vielfachheit 2) bei x=0.
Eine doppelte Nullstelle berührt die x-Achse lediglich und ist deshalb automatisch auch eine Extremstelle.
Es steht noch aus, ob es sich um einen Tiefpunkt oder Hochpunkt handelt.
Weitere Extremstellen.
Da zwei Wendepunkte hat, die keine Terrassenpunkte sind ( und ), muss der Graph 3 Extremstellen haben, da der Wendepunkt jeweils zwischen zwei Extremstellen liegen muss.
Es kann keine weiteren Extremstellen geben, da es keine weiteren Wendepunkte gibt und sich entweder vor oder nach einer Extremstelle (oder beide Male) die Krümmung ändern muss.
Es muss also ein weiterer Extempunkt in und einer in liegen. Aufgrund der Achsensymmetrie von sind beide Extrempunkte von der derselben Art.
Art aller drei Extremstellen
Da der Term vom Grad 4 ist und der Leitkoeffizient positiv ist, gilt
, was bedeutet, dass der Graph von f zu Beginn fällt. Der erste Extrempunkt im Intervall ist also ein Tiefpunkt.
Aufgrund der Symmetrie muss auch im Intervall ein Tiefpunkt sein.
Somit ist im Ursprung ein Hochpunkt.
(Hinweis: Die x-Koordinaten der anderen Extrempunkte können durch Faktorisieren der 1. Ableitung und durch Substitution berechnet werden. Sie liegen ungefähr bei und )