Aus der Tiefkühltruhe wird ein gefrorenes Lebensmittel mit einer Temperatur von in die Küche zum Auftauen gebracht. Die Temperatur in der Küche beträgt . Nach hat sich das Tiefkühlgut auf erwärmt.
Bestimme die Funktionsgleichung für die beschränkte, exponentielle Zunahme.
Benutze dabei die allgemeine Funktionsgleichung für die beschränkte, exponentielle Zunahme:
Dabei ist:
- : ist der Bestand zur Zeit ,
- : ist die Sättigungsgrenze (Schranke)
- : ist die Wachstumskonstante,
- : ist der Anfangsbestand zur Zeit , also der Startwert.
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Bei dieser Aufgabe entspricht der Temperatur in des Tiefkühlgutes und ist die Zeit in Minuten.
Die obere Schranke ist die Zimmertemperatur von . Der Anfangswert ist hier die Anfangstemperatur . Somit ergibt sich folgende Gleichung für die beschränkte Temperaturzunahme:
.
Die Wachstumskonstante kann über die Angabe berechnet werden.
Setze .
Umformung: -21
Löse nach auf.
Umformung: :(-32,6)
Umformung: \ln
Umformung: :(-15)
Antwort: Die Gleichung für die Temperaturzunahme lautet:
, in und in Minuten.
Wie lange dauert es, bis sich das Tiefkühlgut auf erwärmt hat?
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Setze :
Setze .
Umformung: -21
Löse nach auf.
Umformung: :(-32,6)
Umformung: \ln
Umformung: :(-0,00826)
Antwort: Nach etwa oder rund Stunden hat sich das Tiefkühlgut auf erwärmt.
Zeichne den Graphen der Funktionsgleichung für .
Zeichne ebenfalls die Asymptote ein.
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Erstelle eine Tabelle mit einigen Funktionswerten:
t (in Minuten) | T(t) in |
|---|---|
0 | -11,6 |
15 | -7,8 |
40 | -2,4 |
80 | 4,2 |
120 | 8,9 |
160 | 12,3 |
200 | 14,8 |
Trage die berechneten Funktionswerte in ein Koordinatensystem ein und verbinde die Punkte. Die Asymptote hat hier die Gleichung (Schranke ).
