Ein Wachstumsprozess für beschränktes exponentielles Wachstum einer Population wird durch eine Funktion beschrieben. bezeichnet die Anzahl der Individuen der Population zum Zeitpunkt ( in Jahren).
Zeichne mithilfe einer Wertetabelle die Wachstumsfunktion für .
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Wertetabelle
Funktion:
(in Jahren) |
|
|---|---|
Bestimme den Anfangswert des Bestandes und gib den Bestand nach Jahren an.
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Anfangswert des Bestandes
Der Anfangswert des Bestandes ist der Bestand zur Zeit .
Der Funktionswert für wurde schon in Aufgabe ) berechnet: .
Bestand nach 3 Jahren
Setze die Wachstumsfunktion ein:
Setze ein.
Vereinfache.
Nach Jahren ist der Bestand auf rund Individuen angewachsen.
Bestimme die Schranke .
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Die allgemeine Wachstumsfunktion für beschränktes exponentielles Wachstum lautet:
Gegeben ist die Wachstumsfunktion . Die Schranke kann direkt abgelesen werden:
Alternativ kann der Grenzwert von für berechnet werden:
Der Bestand nähert sich für der Grenze .
Nach welcher Zeit ist der aktuelle Bestand auf von angewachsen?
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von sind .
Setze .
Setze .
Umformung: -100
Löse nach t auf.
Umformung: :(-90)
Kürze die linke Seite.
Umformung: \ln
Beseitige die -Funktion.
Umformung: \cdot (-1)
Nach etwa Jahren ist der aktuelle Bestand auf von angewachsen.