Normalenformel
Die Normale ist damit gegeben durch eine lineare Funktion und kann mithilfe der Normalenformel aufgestellt werden:
Bestimmen der Normalensteigung
Ausgehend von einer Tangente (oder allgemein einer Geraden) ist es zu deren Normalen nicht weit. Da diese beiden Geraden senkrecht aufeinander stehen, erfüllen ihre Steigungen und folgende Gleichung:
und damit lässt sich berechnen mithilfe:
Beispiele zur Bestimmung von
Steigung der Tangente | Steigung der Normale |
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Normalengleichung aufstellen
Setzt man die Steigung in die allgemeine Geradengleichung ein, besitzt die Normale die Form:
Hier steht für den y-Achsenabschnitt der Normale. Diesen können wir berechnen, indem für und die Koordinaten eines Punktes eingesetzt werden.
Beispiel zur Berechnung des y-Achsenabschnittes
Eine Normale habe die Steigung und verlaufe durch den Punkt . Wir berechnen deren y-Achsenabschnitt. Dieser Ablauf ist für die Berechnung des y-Achsenabschnittes immer gleich und lässt sich ganz allgemein anwenden.
Allgemeines Rezept | Beispiel |
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Geradengleichung hinschreiben. |
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Koordinaten des Punktes einsetzen. |
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Nach umstellen. |
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in die Geradengleichung einsetzen. |
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Die Normale wird durch den Funktionsterm beschrieben.
Normalenformel
Das Aufstellen der Normalengleichung ist genauso systematisch wie das Bestimmen einer Tangente und kann mit der Formel
vorgenommen werden.
Herleitung der Normalenformel
Das Herleiten der Normalenformel funktioniert genau gleich wie bei der Tangente. Wir fangen an mit der Geradengleichung:
Für die Steigung kann jetzt die entgegengesetzte Steigung bzw. verwendet werden. Damit ist die Normale nun:
Die Normale verläuft durch einen Punkt , womit wir eingesetzt
erhalten. Umgeformt nach ergibt sich:
Setzen wir ein, erhalten wir zuletzt die Normalengleichung:
ausklammern
Beispiel zur Normalenformel
Die Funktion wird in von einer Normalen geschnitten. Wir bestimmen deren Funktionsterm .
Allgemein | Beispiel |
|---|---|
berechnen |
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bestimmen |
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berechnen |
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in Formel einsetzen |
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Funktionsterm vereinfachen |
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Der Funktionsterm der Normalen ist damit: