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Definition

Zwei Vektoren

sind linear abhängig, wenn sie kollinear, d.h. parallel verlaufen:

Drei Vektoren

sind linear abhängig, wenn sie komplanar, d.h. in einer Ebene sind und man mit ihnen eine geschlossene Vektorkette bilden kann.

Gilt dies nicht, sind die Vektoren linear unabhängig.

Insbesondere folgt daraus bereits, dass drei Vektoren im   immer linear abhängig sind, da sie sich alle in einer Ebene befinden. 

Allgemeine Definition

Eine Menge von Vektoren ist linear abhängig, wenn man eine Linearkombination von ihnen bilden kann, die den Nullvektor ergibt und nicht trivial ist (trivial wäre, einfach von allen Vektoren das Nullfache zu nehmen).

Geht das nicht, so sind sie linear unabhängig.

Berechnung bei zwei Vektoren

Zwei Vektoren  und   sind dann linear abhängig, wenn einer ein Vielfaches des anderen ist:   mit . 

Beispiel 1 

Die zwei Vektoren   und   sind linear abhängig, da  . 

Beispiel 2 

Die zwei Vektoren   und   sind linear unabhängig. Wären sie linear abhängig, so könnte man   ausdrücken als  . Das ist nicht möglich, da die erste Komponente der Vektoren   impliziert - das passt aber nicht zur zweiten Komponente, da  . 

Beispiel 3

Die zwei Vektoren   und   sind linear abhängig, da  . 

Beispiel 4 

Die zwei Vektoren   und   sind linear unabhängig. Wären sie linear abhängig, so könnte man   ausdrücken als  . Das ist nicht möglich, da die erste und zweite Komponente der Vektoren   impliziert, das aber nicht zur dritten Komponente passt - schließlich gilt  . 

Berechnung bei drei Vektoren

Drei Vektoren sind dann linear abhängig, wenn sich eine geschlossene Vektorkette bilden lässt. Dabei dürfen allerdings nicht alle k-Parameter gleich null sein.

Formel zur Überprüfung

Beispiel 1 

Die drei Vektoren  ,   und   sind linear abhängig, da z. B.   gilt. 

Beispiel 2 

Die drei Vektoren  ,   und   sind linear unabhängig, da sie sich nicht in einer Ebene befinden. 

Beispiel 3 

Die drei Vektoren  ,   und   sind linear abhängig, da z. B.   gilt.