Sind die folgenden Vektoren parallel zueinander? Begründe.
Vorsicht: Bei dieser Aufgabe können mehrere Antworten richtig sein.
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Tipp: Vergiss erstmal die zweite Koordinate, wo der Parameter vorkommt und vergleiche die anderen Koordinaten der Vektoren und .
Schritt 1: Mögliche Kandidaten für finden
Dazu kannst du zum Beispiel die ersten Koordinaten vergleichen.
Teile die linke Koordinate durch die rechte um ein Kandidat für zu finden.
Warum macht man das so?
Wir wollen, dass die Beziehung gilt.
Das bedeutet, dass für jede einzelne Koordinate (bzw. Komponente) diese Beziehung gelten muss. Also zum Beispiel für die erste Koordinate (Komponente): .Um zu erhalten musst du nur noch danach auflösen.
ist also der einzige Kandidat, der in Frage kommt um zu schreiben.
Beachte: Bis jetzt gilt dieses nur für die erste Koordinate (Komponente).
Schritt 2: Überprüfen ob das berechnete die Gleichung löst
Multipliziere dafür mit um nachzuprüfen, ob tatsächlich rauskommt.
Die Vektoren und sehen bereits sehr ähnlich aus. Deren ersten Koordinaten stimmen überein. Auch die dritten Koordinaten sind identisch. Wenn du jetzt die zweiten Koordinaten vergleichst, kannst du die Werte von finden, für die und parallel sind.
Diese Gleichheit ist nur für erfüllt. Nur dann gilt also
Für sind und parallel.
Bemerkung zum Parameter
Für alle anderen Werte von können die Vektoren und nicht parallel sein.
Beispiel: Wenn du für Null einsetzt erhältst du die Vektoren
Wenn du jetzt die zweiten Koordinaten beider Vektoren vergleichst stellst du folgendes fest:
Es gilt .
Damit also überhaupt gelten kann müsste also sein. Dann wäre aber und dieser Vektor ist offensichtlich nicht gleich .
Für manche Werte von sind und nicht parallel.
Die richtigen Lösungen sind dann: Für manche Werte von sind die Vektoren parallel und für manche (andere) Werte von sind sie nicht parallel.