Das Rechteck mit und ist die Grundfläche der Pyramide (siehe Zeichnung). Die Spitze liegt senkrecht über dem Mittelpunkt der Strecke mit . Der Punkt ist der Mittelpunkt der Strecke . Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.
Berechnen Sie das Maß des Winkels sowie die Länge der Strecke .
Ergebnisse: ,
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Berechnung des Winkels
Zu betrachten ist das Dreieck . Überlege dir welche Seiten gegeben sind und beachte, dass bei ein rechter Winkel liegt. Daran erkennst du, dass von aus betrachtet die Gegenkathete und Ankathete gegeben sind und du den Tangens benötigst, um den Winkel zu berechnen.
Berechnung der Streckenlänge
Um die Strecke zu berechnen benötigst du den Satz des Pythagoras. liegt dem rechten Winkel gegenüber und ist somit Hypothenuse.
Der Punkt liegt auf der Strecke mit . Für Punkte auf der Strecke gilt: mit und . Die Punkte sind die Mittelpunkte von Strecken mit , und .
Die Punkte , und sind die Eckpunkte von Dreiecken .
Zeichnen Sie das Dreieck für in das Schrägbild zu ein.
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Zeichnen des Schrägbilds
Zunächst sollte man den Punkt durch Abmessen einzeichnen. Da sich das Dreieck in der Zeichenebene befindet ( liegt senkrecht über ), kann man auch durch Abmessen einzeichnen. Laut Angabe ist . Die Strecke ist parallel zu .
Der Punkt auf der Strecke liegt senkrecht über dem Punkt . Zeichnen Sie und das Dreieck in das Schrägbild zu ein.
Bestimmen Sie sodann durch Rechnung den zugehörigen Wert für und die Länge der Strecke . Ergebnis:
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Dreieck einzeichnen
Wieder gilt, dass das Dreieck in der Zeichenebene liegt. Daher zeichnet man zunächst die senkrechte Strecke durch Messung des rechten Winkels ein. ist wieder parallel zu .
Gesucht ist die Länge der Strecke . Das Dreieck ist rechtwinklig, außerdem sind die Strecke und der Winkel gegeben. Die Strecke ist dabei die Hypotenuse und somit ergibt sich aus der Formel des Kosinus:
Streckenlänge berechnen
Um die Länge der Strecke zu berechnen, benötigt man den Strahlensatz.
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Die Länge der Strecke ist also .
Das Dreieck ist die Grundfläche der Pyramide . Ermitteln Sie rechnerisch den prozentualen Anteil des Volumens der Pyramide am Volumen der Pyramide .
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Bei dieser Aufgabe sollst du das Volumen der Pyramide und den prozentualen Anteil des Volumens der Pyramide zu der Pyramide bestimmen.
Das Volumen einer Pyramide bestimmst du durch mit der Grundfläche und der Höhe .
Die Grundfläche ist hier das Dreieck . Die Formel für die Berechnung des Flächeninhalts eines Dreiecks lautet:
Die Länge der Grundseite dieses Dreiecks ist gegeben durch , wie du bereits in Teilaufgabe c) berechnet hast.
Die zweite Größe, die zur Berechnung des Flächeninhalts des Dreiecks nötig ist, ist seine Höhe (Achtung: Hier ist nicht die Höhe der Pyramide gemeint, sondern die Höhe des Dreiecks ). Diese Höhe entspricht genau der Länge der Strecke . Mithilfe des Satzes von Pythagoras erhältst du:
Durch Einsetzen der berechneten Größen erhältst du nun für die Grundfläche der Pyramide, die dem Flächeninhalt des Dreiecks entspricht:
Zur Berechnung des Volumens der Pyramide benötigst du nun noch ihre Höhe . Diese ist gegeben durch .
Für das Volumen der Pyramide ergibt sich also
Für die Pyramide ergibt sich
Der prozentuale Anteil entspricht also .