Gegeben ist die Schar der in definierten Funktionen mit . Ermitteln Sie, für welchen Wert von a die erste Ableitung an der Stelle den Wert 0 besitzt. (4 BE)
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Für diese Aufgabe musst du Ableiten können. Außerdem schadet es nicht zu wisssen, was eine Funktionenschar genau ist.
Um herauszufinden, für welchen Wert von die Ableitung der Funktionenschar an der Stelle den Wert hat, bildest du als Erstes die allgemeine Ableitung. Dafür musst du die Produktregel und die Kettenregel verwenden können sowie wissen, was die Ableitung der e-Funktion ist:
Nun setzt du für den Wert ein:
Jetzt setzt du die Funktionenschar gleich und löst nach auf:
Klammere aus.
Wende den Satz vom Nullprodukt an und setze die einzelnen Faktoren gleich .
und
: "e hoch irgendwas" ist immer größer als und damit auch nie gleich . Deswegen liefert die erste Gleichung keine Lösung.
Löse die zweite Gleichung nach a auf.
Für ist der Wert der Ableitung an der Stelle null.