a) Zeichne ein regelmäßiges Sechseck mit einer Seitenlänge von 5 cm.
b) Berechne den Flächeninhalt des Secksecks.
(4 Punkte)
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Lösung zur Teilaufgabe a)
Hier solltest du wissen, wie man ein Sechseck konstruiert.
Zeichne einen Kreis mit dem Radius . Verbinde den Mittelpunkt mit irgendeinem zufälligen Punkt (B) auf dem Kreis.
Zeichne nun von B aus einen weiteren Kreis mit dem Radius . An den Schnittstellen mit dem ersten Kreis liegen die Punkte C und D. Verbinde C und D mit B.
Fahre ebenso mit den Punkten C und D fort.
Führe den gleichen Schritt nochmal für entweder den Punkt E oder den Punkt F durch.
Lösung zur Teilaufgabe b)
Nützliches Wissen ist hier die Flächenformel für ein Dreieck und der Satz des Pythagoras.
Verbinde alle Punkte mit dem Mittelpunkt, sodass 6 entstehen.
Berechne zunächst die Höhe(h) eines Dreiecks mit Hilfe des Satz des Pythagoras. Dabei ist die Hypotenuse und und (was die Höhe ist, die in Zukunft mit abgekürzt wird) sind die Katheten.
Schreibe anstelle von die Variable .
ist der Radius. Daher weißt du, dass cm lang ist.
Jedes der kleinen Dreiecke ist ein gleichseitiges Dreieck und damit sind alle Seiten gleich lang. ist die Hälfte einer Seite und damit die Hälfte von cm, also cm.
Warum sind die kleinen Dreiecke gleichseitig?
Eine Vollwinkel sind . Damit ist jeder Winkel in der Mitte groß. Beide Seiten von der Mitte zum Rand sind gleich lang, weil es sich beide Male um den Radius handelt. Deshalb muss es ein gleichschenkliges Dreieck sein. Die beiden anderen Winkel sind deswegen gleich groß: (Berechnung mit Hilfe der Innenwinkelsumme im Dreieck). Also sind alle Winkel im Dreieck gleich groß und damit ist es gleichseitig.
Stelle nach um, indem du subtrahierst.
Berechne die Quadrate.
Ziehe die Wurzel.
Jetzt kannst du den Flächeninhalt eines Dreiecks mit der Formel berechnen.
Setze in diese Formel für die Länge der Grundseite und für die Höhe ein.
Rechne den Wert aus.
Berechne nun den Flächeninhalt des Sechsecks, indem du die Fläche eines Dreiecks mit der Anzahl der Dreiecke (6) multiplizierst.
Setze den Flächeninhalt eines Dreiecks ein und berechne.
Das Sechseck ist insgesamt groß.