Polynomdivisionen mit Parametern
Führe die Polynomdivisionen durch. Faktorisiere anschließend das Polynom des Dividenden durch Bestimmung all seiner Nullstellen.
Hinweis
Die Dividendenpolynome der Aufgaben enthalten jeweils einen Paramter bzw. . Dies macht den algebraischen Ablauf der Polynomdivisionen etwas anspruchsvoller, ist aber für den gewohnten Ablauf der Divisionsarbeit kein Hindernis.
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Das Polynom des Dividenden ist vom Grade 3 und nach fallenden Potenzen geordnet und somit für das Divisionsverfahren geeignet. Die Koeffizienten beim quadratischen und beim linearen Glied sind in Klammern stehende Differenzen mit einem Parameter a.
Da die Division des Polynom 3.Grades durch aufgegangen ist, hat es als 1. Nullstelle.
Die eventuellen Nullstellen des Ergebnispolynoms sind dann seine weiteren Nullstellen.
Nullstellenberechnung
Berechne die Lösungen der quadratischen Gleichung mit der Mitternachtsformel.
Alle Nullstellen des Polynoms 3. Grades sind: -1, -2, a
Faktorisierung
Für das gegebene Polynom 3. Grades ergibt sich somit folgende Linearfaktorzerlegung:
Lösung anzeigen
Vorbereitung der Polynomdivision
Bevor man mit einer Polynomdivision beginnt, muss man
- sicherstellen, dass sowohl im Dividenden als auch im Divisor die Polynome nach fallenden Exponenten geordnet sind und
- sollte man Glieder mit gleichem Exponenten zusammenfassen.
Dies erreicht man durch eventuelles Umstellen von Gliedern und durch Ausklammern.
Beide Polynome sind hier bereits nach fallenden Potenzen geordnet. Sowohl das Polynom 3. Grades des Dividenden, als auch das Polynom 1. Grades des Divisors. Die quadratischen und die linearen Glieder des Dividendenpolynoms sind aber noch nicht zusammengefasst.
Fasse im Dividenden die quadratischen und die linearen Glieder durch Ausklammern zusammen.
Polynomdivision
alternative Polynomdivision (ohne Zusammenfassen im Dividendenpolynom)
Nullstellenberechnung
Löse die quadratische Gleichung mit der Mitternachtsformel
Das Minus in Nenner und Zähler kürzt sich weg.
Unter der Wurzel zusammenfassen
Auf die Diskriminante unter der Wurzel kann die erste Binomische Formel angewendet werden.
Wurzelziehen
Faktorisierung
Für das gegebene Polynom 3. Grades ergibt sich somit folgende Linearfaktorzerlegung: .