Ein Marmeladenglas hat als Grundfläche ein regelmäßiges Sechseck und ist (abgesehen vom Rand mit Schraubverschluss und Deckel) hoch. Die Seitenlänge des Sechseckes ist .
Wie viel Milliliter Marmelade passen in das Glas, wenn man es bis unter den Rand füllt?
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Volumenberechnung eines Prismas
Das Marmeladenglas ist ein Prisma mit einem Sechseck als Grundfläche.
Das ist die Volumenformel eines Prismas.
Hier ist und die Grundfläche ist ein reguläres Sechseck mit Seitenlänge .
Dieses Sechseck kannst du in sechs gleichseitige Dreiecke aufteilen.
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In einem Sechseck beträgt die Winkelsumme
Da das Sechseck regulär ist, ist jeder Winkel gleich groß. Da handelt es sich um Winkel.
Im regelmäßigen Sechseck fallen die Diagonale und die Winkelhalbierende zusammen. Deshalb teilt eine Diagonale zwei gegenüberliegende Winkel in jeweils zwei Winkel.
Zeichnet man alle Diagonalen ein, erhält man sechs Dreiecke.
Da in einem Dreieck die Winkelsumme beträgt, muss der letzte Winkel in jedem Dreieck auch sein.
Damit sind in in einem Dreieck alle Winkel und deshalb sind die Dreiecke gleichseitig.
Das ist die Flächenformel für das Dreieck. Stelle diese nach der Höhe des Dreiecks um.
Mit dieser Formel kannst du die Höhe im gleichseitigen Dreieck berechnen.
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Das ist der Satz des Pythagoras. Mit Umformen erhältst du:
Nun kannst du auf beiden Seiten die Wurzel ziehen.
Durch Vereinfachen erhältst du die oben genannte Formel.
Wenn du in die Formel einsetzt, ergibt sich:
Das kannst du jetzt in die Flächenformel für das Dreieck einsetzen.
Jetzt kannst du die sechseckige Grundfäche berechnen.
Mit ergibt sich für das Volumen des Prismas:
Dieses Ergebnis gibst du noch in Milliliter an.
Antwort: In das Glas passen also etwa Marmelade.