Auf einem Streckenabschnitt soll eine Autobahnteilstrecke neu gebaut werden.
Durch Steigungen und Gefälle können Probleme für die Verkehrsteilnehmer entstehen.Deshalb werden beim Neubau von Autobahnen Steigungen über vermieden.
Das Steigungsprofil der geplanten Autobahnstrecke wird durch die Funktion beschrieben (siehe Figur 1).
Begründe rechnerisch, warum die neue Autobahnstrecke mit diesem Steigungsprofil nicht gebaut werden kann.
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Der Streckenverlauf wird durch eine gebrochenrationale Funktion erfasst, so dass deren Steigungsverhalten zu untersuchen ist.
Die Funktion ist wegen achsensymmetrisch zu und hat deswegen an den beiden Wendepunkten den gleichen maximalen Steigungsbetrag. Zu überprüfen ist demnach, ob der Betrag der Steigung von in den Wendepunkten höchstens 6 % beträgt.
Bilde mit Hilfe der Quotientenregel und der Kettenregel
Bilde jetzt die 2. Ableitung
Löse jetzt die Gleichung um die Wendepunkte und somit die Stellen des größten Steigungsbetrags der Funktion zu bestimmen
und liefern Wendepunkte und somit Punkte größten Steigungsbetrags, da bei das Vorzeichen wechselt und zwischen den beiden Punkten negativ ist.
Für den Betrag der Steigung an den Wendepunkten gilt:
Ergebnis:
Damit kann die Autobahnteilstrecke mit dem gegebenen Höhenprofil nicht gebaut werden.
Im Intervall [-4;+4] soll die Autobahn daraufhin parabelförmig mit dem Höhenverlauf
untertunnelt werden (siehe Figur 2 und die Vergrößerung in Figur 3).
Kann die geplante Autobahnteilstrecke jetzt gebaut werden?
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Für diese Teilaufgabe muss die Steigung einer quadratischen Funktion untersucht werden.
Bestimme die Funktionswerte von und an den Stellen und , an denen die beiden Funktionen aneinandergefügt sind.
Die Funktionswerte stimmen also überein. Die Straße hat keinen "Sprung"
Berechne die ersten beiden Ableitungen von .
Bestimme nun die Werte von am Rand der Definitionsmenge von
Da eine konstante Funktion und ist, liegen die Werte der Steigung von im Intervall im Bereich . Der Betrag der Steigung ist also immer .
Ergebnis:
Diese Autobahnteilstrecke kann im Hinblick auf den Höhenverlauf gebaut werden.
Bestätige deine Rechenergebnisse z.B. mithilfe von Geogebra graphisch.
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Tipp: Mit einem Programm wie Geogebra kannst du den graphischen Verlauf der Autobahnstrecke "nachbauen" und mit dem Steigungsverhalten experimentieren und deine Rechenergebnisse bestätigen.
Verschiebe im Geogebra-Applet die Punkte A, B, C, D und bestätige mit den jeweils abzulesenden Steigungswerten deine Rechenergebnisse aus den Teilaufgaben a und b.
Tipp: Wenn die Ansicht abgeschnitten wirkt, direkt in GeoGebra öffnen.