Die Gerade mit der Gleichung ist Symmetrieachse von Rauten . Die Diagonalen der Rauten liegen auf der Geraden . Die Punkte liegen auf der Geraden mit der Gleichung . Die Abszisse der Punkte ist stets um vier größer als die Abszisse der Punkte . Dabei gilt: -.
Runde im folgenden auf zwei Nachkommastellen!
Zeichne die Geraden und sowie die Raute für und die Raute für in ein Koordinatensystem! Für die Zeichnung: Längeneinheit ; .
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Zeichnen der Raute
Du fängst mit der Raute an. Gegeben sind = und die Gleichungen für den Punkt und für die Punkte und
Erst berechnest du die -Koordinate von .
Du trägst den Punkt ein. Dann berechnest du die Koordinaten von .
Du trägst den Punkt ein. Dann spiegelst du an , um einzutragen.
Als nächstes zeichnest du die Strecke und spiegelst an dieser, um einzutragen.
Die Koordinaten von und musst du nicht berechnen.
Zeichnen der Raute
Für die Raute : Gegeben sind und die Gleichungen für den Punkt und für die Punkte und .
Du gehst für die zweite Raute genauso vor, wie für die erste.
Erst berechnest du die -Koordinate von .
Du trägst den Punkt ein. Dann berechnest du die Koordinaten von .
Dann spiegelst du wieder an , um einzutragen und an , um einzutragen.
Zeige, dass für die Punkte in Abhängigkeit von der Abszisse der Punkte gilt: ! Bestätige sodann durch Rechnung die untere Intervallgrenze der Rauten !
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1. Teilaufgabe
Die Abszissen der Punkte sind um 4 größer als die Abszissen der Punkte (in der Aufgabe definiert). Die Punkte liegen auf der Geraden .
Damit sind die Koordinaten der Punkte .
2. Teilaufgabe
Die untere Intervallgrenze ist die Stelle, an der sich die Geraden und schneiden.
Du berechnest also den Schnittpunkt der beiden Geraden
und löst nach auf.
Die untere Intervallgrenze ist .
Begründe, warum sich für die obere Intervallgrenze ergibt und bestätige diese durch Rechnung!
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Sobald auf der Diagonalen liegt, liegt auch das an dieser Diagonalen gespiegelte auf der Diagonalen und es gibt keine Raute mehr.
Wenn das eintritt, ist die Strecke orthogonal zur Geraden .
Die Strecke kannst du als Vektor schreiben:
Wenn dieser orthogonal zur Geraden ist, ist das Skalarprodukt des Richtungsvektors der Geraden und der Strecke gleich null.
Daher wurde die obere Intervallgrenze gewählt.
Bestimme rechnerisch die Koordinaten der Punkte in Abhängigkeit von der Abszisse der Punkte !
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Gegeben:
Spiegelachse:
Du hast in Teilaufgabe 1 die Punkte und konstruiert, indem du die Punkte und an der Diagonalen gespiegelt hast. Dies kannst du für alle Punkte machen.
Zunächst berechnest du den Winkel, den die Spiegelachse mit der x-Achse einschließt.
Das kannst du in die Formel für die Achsenspiegelung an einer Ursprungsgeraden einsetzen.
Die Koordinaten der Punkte in Abhängigkeit von der Abszisse x der Punkte sind .
Berechne den Flächeninhalt der Rauten in Abhängigkeit von der Abszisse der Punkte !
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Gegeben: , ,
Du bildest zuerst den Vektor
Dann bildest du den Vektor .
Mit der Determinante rechnest du jetzt den Flächeninhalt aus. Das kannst du machen, da die Raute aus zwei gleich großen Dreiecken besteht.
Die Seite der Raute verläuft senkrecht zur -Achse. Berechne die Koordinaten des Punktes !
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Gegeben: ,
Wenn die Strecke orthogonal zur -Achse ist, sind die Abszissen der Punkte und gleich.
Das Ergebnis setzt du in die Koordinaten von ein.
In der Raute hat die Diagonale die gleiche Länge wie die Seite . Begründe, dass für die Diagonale gilt: !
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Du beschreibst zuerst die allgemeinen Eigenschaften einer Raute und verbindest das dann mit den Bedingungen, die in der Aufgabe gegeben sind. Es ist oft sinnvoll, eine Raute in zwei Dreiecke zu unterteilen und sich zunächst nur eins von diesen anzugucken.
Das markierte Dreieck ist gleichseitig:
Die Höhe eines gleichseitigen Dreiecks mit Seitenlänge kannst du der Formelsammlung entnehmen (oder diesem Artikel)
Die Strecke ist doppelt so lang wie die Höhe des Dreiecks. Es gilt demnach:
Jetzt verbindest du noch deine Argumente, um die gleiche Formel wiederzugeben, die in der Aufgabe verlangt ist.