Gegeben ist die Funktion mit der Definitionsmenge . Ihr Graph wird mit bezeichnet.
Berechnen Sie die Koordinaten der Schnittpunkte von mit den Koordinatenachsen. [4 BE]
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Berechne die Koordinaten der Schnittpunkte von mit den Koordinatenachsen
Schnitt mit x-Achse:
Löse die Gleichung mit der Mitternachtsformel:
Setze und ein.
Fasse zusammen.
Ziehe teilweise die Wurzel.
Klammere aus und kürze.
und
Beide Lösungen liegen im Definitionsbereich .
Die Schnittpunkte mit der x-Achse sind und .
Schnitt mit y-Achse:
Der Schnittpunkt mit der y-Achse ist .
Bestimmen Sie das Monotonieverhalten von und ermitteln Sie die Art und die Koordinaten des Extrempunkts von .
[Mögliches Teilergebnis: ] [7 BE]
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Teil 1
- Berechne mit der Quotientenregel.
- Löse die Gleichung , verwende dazu den Satz vom Nullprodukt.
- Beachte den Definitionsbereich.
- Erstelle eine Monotonietabelle.
Teil 2
- Beachte den Schnittpunkt mit der y-Achse (Aufgabe a).
Bestimme das Monotonieverhalten von
Berechne mit der Quotientenregel:
Verwende den Satz vom Nullprodukt:
oder
Wegen entfällt die Lösung .
Erstelle eine Monotonietabelle:
und
Auf dem Intervall ist streng monoton steigend.
Auf dem Intervall ist streng monoton fallend.
Ermittle die Art und die Koordinaten des Extrempunkts von
Für gibt es einen Vorzeichenwechsel der ersten Ableitung von und mit dem Monotonieverhalten folgt, dass einen absoluten Hochpunkt mit den Koordinaten hat. (Der Punkt ist gleichzeitig Schnittpunkt mit der y-Achse.)
Gegeben ist nun die Funktion mit der Definitionsmenge .
1 Untersuchen Sie das Verhalten der Funktionswerte an den Rändern der Definitionsmenge von . [4 BE]
2 Begründen Sie für die beiden folgenden Aussagen jeweils, ob sie wahr oder falsch sind:
: „Die Wertemenge von lautet .“
: „Die Funktion ist umkehrbar.“ [4 BE]
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1
- Untersuche das Verhalten des Arguments der Arkustangens-Funktion.
- Berechne und .
- Berechne anschließend und .
- Vergleiche mit Aussage .
2
- Untersuche, welche Werte das Argument der Arkustangens-Funktion annehmen kann. Dabei interessiert besonders ein mögliches Maximum. Dann folgt daraus der Wertebereich von .
- Vergleiche mit Aussage .
1 Untersuche das Verhalten der Funktionswerte an den Rändern der Definitionsmenge von
Verhalten für
Untersuche das Verhalten des Arguments der Arkustangens-Funktion für sehr kleine -Werte. Da der Zählergrad () größer ist als der Nennergrad (), wird der Bruch betragsmäßig unendlich groß:
Da die Arkustangens-Funktion für gegen strebt, folgt für die gesamte Funktion:
Verhalten für
Untersuche den linksseitigen Grenzwert an der Definitionslücke .
Setze Werte ein, die geringfügig kleiner als sind:
Der Zähler ergibt: . Der Nenner ergibt für : .
Daraus folgt für das Argument:
Wende die äußere Funktion an:
Die Grenzwerte der Funktion an den Rändern des Definitionsbereichs lauten: und
2 Begründe für die beiden folgenden Aussagen jeweils, ob sie wahr oder falsch sind:
: „Die Wertemenge von lautet .“
Untersuche das Verhalten der inneren Funktion für .
Es werden die Grenzwerte an den Rändern des Definitionsbereichs betrachtet: und (Herleitung unter 1)
Bestimmung der Extrema der inneren Funktion:
Es ist bis auf den Faktor identisch mit .
hat für ein globales Maximum.
Bestimmung der Wertemenge:
Die innere Funktion nimmt also alle Werte im Intervall an.
Anwendung der äußeren Funktion auf dieses Intervall.
Da der Arkustangens streng monoton steigend ist, ist streng monoton fallend:
Für gilt: (offene Grenze).
Für den Maximalwert gilt: (geschlossene Grenze).
Also ist die Aussage ist falsch.
: „Die Funktion ist umkehrbar.“
Die Funktion ist auf nicht umkehrbar, da sie bei einen Vorzeichenwechsel der Ableitung aufweist und somit im gegebenen Intervall nicht streng monoton istdie Aussage ist falsch.