Die liegende Pyramide ABCDS, deren Seitenfläche ABS in der -Ebene ist und deren rechteckige Grundfläche ABCD in der -Ebene ist, hat eine Höhe von 4 LE. Dabei ist das Dreieck ABS gleichschenklig mit Basis AB, wobei gilt und A auf der positiven -Achse liegt. Es ist außerdem und gegeben.
Zeichne die Pyramide in ein dreidimensionales Koordinatensystem und gib die Koordinaten der übrigen Eckpunkte an.
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- Der Punkt B(-3|0|0) ist gegeben und kann direkt eingezeichnet werden.
- Da A auf der positiven -Achse liegen soll und einen Abstand von 6 LE zu B haben soll, ist A(3|0|0).
- Da ABS gleichschenklig ist und S ebenfalls in der -Ebene liegen muss, mit einem Abstand von , ist S(0|4|0) (auch S(0|-4|0) ist möglich).
- Durch D(3|0|4) wissen wir, dass das Rechteck eine Breite von 4 LE haben muss. Somit ist C(-3|0|4).
Bestimme das Volumen der Pyramide.
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Für das Volumen einer Pyramide gilt:
Mit der rechteckigen Grundfläche also:
In dieser Pyramide ist die Höhe die Strecke , wobei O(0|0|0) der Ursprung ist. Die rechteckige Grundfläche ist durch und festgelegt.
Dadurch, dass alle relevanten Seitenlängen parallel zu den Koordinatenachsen sind, können die Werte direkt abgelesen werden:
(VE)
Untersuche, ob das Dreieck ABS gleichseitig ist, und berechne seinen Flächeninhalt.
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Gleichseitiges Dreieck
Wäre das Dreieck gleichseitig, so wäre z.B. (LE).
Bestimme die Länge des Vektors :
(LE)
Somit sind nicht alle Seiten des Dreiecks gleich lang und es ist nicht gleichseitig.
Flächeninhalt
Die relevanten Angaben hast du bereits: Die Grundseite LE und LE.
Somit ist der Flächeninhalt des Dreiecks:
(FE)
Gib die Koordinaten eines beliebigen, weiteren Punktes an, der auf der Kante liegt, aber nicht A oder S ist.
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Alle Punkte auf der Strecke erfüllen diese Vorgabe.
Allgemein erfüllt jeder Punkt Q, der zwischen A und S auf der Strecke liegt diese Bedingung. Mit einer Vektorkette kann man für die Ortsvektoren von Q bestimmen durch:
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Für r=0 ergibt sich , was laut Aufgabenstellung verboten ist.
Für r=1 ergibt sich , was ebenfalls nicht erlaubt ist.
Für r>1 und r<0 befindet man sich rechts bzw. links von der Strecke .
Für ergibt sich zum Beispiel:
und somit Q(1,5|2|0)
Entscheide, ob der Punkt P, dessen Koordinaten durch gegeben sind, innerhalb der Pyramide liegt.
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Da der Gegenvektor von verwendet wird, geht man aus dem Dreieck heraus. Somit muss der Punkt außerhalb des Dreiecks liegen.
Alternativ:
Bestimme die Koordinaten von P:
und somit P(3,9|5,2|0)
Der "Blick von oben" zeigt, dass der Punkt P in -Richtung bereits außerhalb des Dreiecks liegt (größter -Wert ist bei A der Wert 3) und ebenso in -Richtung (größter -Wert ist bei S der Wert 4)