Gegeben ist die Funktion mit der Definitionsmenge .
Der zugehörige Graph wird mit bezeichnet.
Ermitteln Sie die Nullstelle der Funktion sowie die Gleichung der Asymptote von . Begründen Sie, ob sich für von oben bzw. von unten an seine Asymptote annähert. [5 BE]
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Teil 1
- Löse .
Teil 2
- Vergleiche den Grad des Zählers mit dem Grad des Nenners.
Teil 3
- Berechne .
Ermittle die Nullstelle der Funktion
Löse :
Die Nullstelle der Funktion ist .
Ermittle die Gleichung der Asymptote von
Der Zählergrad ist um kleiner als der Nennergrad waagrechte Asymptote .
Die Gleichung der Asymptote von ist .
Begründe, ob sich für von oben bzw. von unten an seine Asymptote annähert
nähert sich für von unten an die waagrechte Asymptote an.
Ermitteln Sie jeweils die Art und die Koordinaten aller relativen Extrempunkte von . Runden Sie die Koordinaten auf zwei Nachkommastellen.
[Mögliches Teilergebnis: ] [7 BE]
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- Berechne mit der Quotientenregel.
- Löse die Gleichung .
- Erstelle eine Monotonietabelle.
- Berechne die -Koordinaten der Extremwerte und gib die Koordinaten der Extrempunkte an.
Ermittle jeweils die Art und die Koordinaten aller relativen Extrempunkte von
Berechne mit der Quotientenregel:
Du hast eine quadratische Gleichung erhalten. Diese kannst du
nun mit der Mitternachtsformel (abc-Formel) oder pq-Formel lösen.
Hier erfolgt die Lösung mit der pq-Formel.
Setze und ein.
Vereinfache.
und
Erstelle eine Monotonietabelle:
:
:
:
HP |
Gegeben ist die zweite Ableitungsfunktion durch die Gleichung
mit der Definitionsmenge
(Nachweis nicht erforderlich!). Begründen Sie, dass die Funktion drei Wendestellen besitzt. Lesen Sie die x-Koordinaten der Wendepunkte von ab und geben Sie diese an. Bestimmen Sie die y-Koordinaten auf zwei Nachkommastellen gerundet. [4 BE]
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- Aus der Linearfaktorzerlegung lassen sich mit dem Satz vom Nullprodukt drei Nullstellen anlesen. Um welche Art von Nullstellen handelt es sich?
- Gib die -Koordinaten der Wendestellen an.
- Berechne auch die zugehörigen Funktionswerte.
Begründe, dass die Funktion drei Wendestellen besitzt
Aus der Linearfaktorzerlegung lassen sich mit dem Satz vom Nullprodukt drei Nullstellen anlesen, d.h. die Funktion besitzt drei Wendestellen. Da es jeweils einfache Nullstellen mit Vorzeichenwechsel von sind, handelt es sich also um Wendestellen.
Lies die x-Koordinaten der Wendepunkte von ab und gib diese an
Es können die Werte: und abgelesen werden.
Bestimme die y-Koordinaten auf zwei Nachkommastellen gerundet
Berechne:
und
Zeichnen Sie den Graphen im Bereich unter Verwendung vorliegender Ergebnisse sowie weiterer geeigneter Funktionswerte in ein kartesisches Koordinatensystem. [5 BE]
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- Erstelle eine Wertetabelle und übertrage die Funktionswerte in ein kartesisches Koordinatensystem. Verbinde die Punkte.
Zeichne den Graphen im Bereich unter Verwendung vorliegender Ergebnisse sowie weiterer geeigneter Funktionswerte in ein kartesisches Koordinatensystem
Erstelle eine Wertetabelle und übertrage die Funktionswerte in ein kartesisches Koordinatensystem. Verbinde die Punkte.
Gegeben ist die Funktion mit der Definitionsmenge . Zeigen Sie, dass die Funktion eine Stammfunktion von ist. Berechnen Sie den Wert des bestimmten Integrals und interpretieren Sie das Ergebnis geometrisch. [5 BE]
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Teil 1
- Wenn eine Stammfunktion von ist, dann muss gelten .
- Berechne die 1. Ableitung von , beachte die Kettenregel.
Teil 2
- Berechne mithilfe der Stammfunktion das Integral .
Zeige, dass die Funktion eine Stammfunktion von ist
Gegeben: .
Wenn eine Stammfunktion von ist, dann muss gelten .
Berechne die 1. Ableitung von , beachte die Kettenregel.
ist also eine Stammfunktion von .
Berechne den Wert des bestimmten Integrals
und
Interpretiere das Ergebnis geometrisch
Der Graph ist punktsymmetrisch zum Punkt . Das Integrationsintervall ist ebenfalls symmetrisch zu diesem Punkt. Somit sind die Flächeninhalte unterhalb und oberhalb der x-Achse gleich groß und das Integral hat den Wert null.