Betrachtet wird die Funktion mit ihrer maximalen Definitionsmenge . Die Abbildung zeigt einen Ausschnitt des Graphen der Funktion
Bestimmen Sie sowie die Nullstellen von und geben Sie jeweils die Art der Definitionslücken von an. (4 BE)
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Teil 1
- Der Nenner muss ungleich null sein und .
Teil 2
- Setze den Zähler gleich null. Es gibt Nullstellen.
Teil 3
- An den beiden Definitionslücken gibt es Polstellen (welcher Ordnung?)
Bestimme
Gegeben ist .
Der Nenner muss ungleich null sein, d.h. und dürfen im Nenner nicht eingesetzt werden
Bestimme die Nullstellen von
Berechne :
Aus der Zerlegung des Zählers folgt mit dem Satz vom Nullprodukt:
Gib jeweils die Art der Definitionslücken von an
Bei und bei gibt es jeweils eine Polstelle 1. Ordnung mit Vorzeichenwechsel.
besitzt genau vier lokale Extrempunkte. Die Koordinaten der beiden Extrempunkte und ergeben sich auf zwei Nachkommastellen gerundet zu bzw. . Zeigen Sie rechnerisch, dass punktsymmetrisch zum Ursprung ist und geben Sie anschließend die gerundeten Koordinaten der Extrempunkte und an. (4 BE)
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Teil 1
- Berechne und zeige, dass ist.
Teil 2
- Wende die Punktsymmetrie auf die gegebenen Punkte an.
Zeige rechnerisch, dass punktsymmetrisch zum Ursprung ist
Berechne und zeige, dass ist Punktsymmetrie zum Ursprung.
Gib anschließend die gerundeten Koordinaten der Extrempunkte und an
Wegen der Punktsymmetrie folgt:
.
Ermitteln Sie für jede Asymptote von ihre Art und ihre Gleichung. (4 BE)
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Teil 1
- Bei und bei gibt es jeweils eine Polstelle 1. Ordnung mit Vorzeichenwechsel. Demnach gibt es dort senkrechte Asymptoten.
Teil 2
- Der Zählergrad ist um größer als der Nennergradschräge Asymptote.
- Führe eine Polynomdivision durch.
Ermittle für jede Asymptote von ihre Art und ihre Gleichung
Bei und bei gibt es jeweils eine Polstelle 1. Ordnung mit Vorzeichenwechsel. Demnach gibt es senkrechte Asymptoten bei und bei .
Der Zählergrad ist um größer als der Nennergradschräge Asymptote.
Führe eine Polynomdivision durch:
Die schräge Asymptote hat die Gleichung .
schneidet die x-Achse für im Punkt (siehe Abbildung). Ermitteln Sie die Gleichung der Tangente an im Punkt .
Teilergebnis: (5 BE)
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- Nach Aufgabe a) hat der Punkt die Koordinaten .
- Es ist und
- Berechne die 1. Ableitung von mit der Quotientenregel.
Ermittle die Gleichung der Tangente an im Punkt
Nach Aufgabe a) hat der Punkt die Koordinaten .
Für die Tangentengleichung gilt:
Dabei ist , d.h. die 1. Ableitung von muss mit der Quotientenregel berechnet werden.
Setze in ein.
Die Gleichung der Tangente an im Punkt lautet
Gegeben sind die Gleichungen der zweiten, dritten und vierten Ableitungsfunktion der Funktion :
(Nachweis nicht erforderlich!)
Es gilt:
Untersuchen Sie die vierte Ableitungsfunktion auf Nullstellen. Tragen Sie ausgehend von den gegebenen Ableitungen die fehlenden Zahlen in die leeren Kästchen im Term der fünften Ableitungsfunktion ein.
(5 BE)
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Teil 1
- Berechne .
- Löse die biquadratische Gleichung mithilfe der Substitution .
Teil 2
- Betrachte den Vorfaktor. Wie ändert sich der Vorfaktor von einer Ableitung zur nächsten?
- Betrachte die Potenzen im Zähler. Wie ändert sich die Potenzen von einer Ableitung zur nächsten?
- Betrachte die Potenzen im Nenner. Wie ändert sich die Potenzen von einer Ableitung zur nächsten?
- Schließe entsprechend für .
Untersuche die vierte Ableitungsfunktion auf Nullstellen
Mit dem Satz vom Nullprodukt folgt: und
Löse die biquadratische Gleichung mithilfe der Substitution .
Zu lösen ist:
Du hast eine quadratische Gleichung erhalten. Diese kannst du mit der Mitternachtsformel (abc-Formel) oder pq-Formel lösen.
Hier erfolgt die Lösung mit der pq-Formel.
Setze und ein.
Du hast die beiden Lösungen und erhalten.
Die Rücksubstitution ergibt und .
Beide Gleichungen haben keine reellen Lösungen.
Also ist die einzige Nullstelle von .
Trage ausgehend von den gegebenen Ableitungen die fehlenden Zahlen in die leeren Kästchen im Term der fünften Ableitungsfunktion ein
Betrachte den Vorfaktor:
Bei ist der Vorfaktor . Bei ist der Vorfaktor , also .
Bei ist der Vorfaktor . Bei ist der Vorfaktor , also .
Bei ist der Vorfaktor . Bei ist dann der Vorfaktor .
Der Multiplikationsfaktor () von einer Ableitung zur nächsten entspricht
dem Grad der höheren Ableitung.
Vorfaktor Vorfaktor von usw.
Betrachte die Potenzen im Zähler:
hat nur ungerade Exponenten und .
hat nur gerade Exponenten und .
hat nur ungerade Exponenten .
Dann hat nur gerade Exponenten .
Betrachte die Potenzen im Nenner:
Dann folgt für
Somit ergeben sich folgende Einsetzungen für die leeren Kästchen: