Der Graph der Funktion mit der Definitionsmenge schneidet in einem kartesischen Koordinatensystem die -Achse beim Wert und verläuft durch den Extrempunkt . Außerdem ist bekannt, dass der Funktionsterm durch mit und dargestellt werden kann.
Bestimmen Sie im Funktionsterm von die Werte der Parameter und . (6 BE)
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Du brauchst ein Gleichungssystem, mit dem du die Parameter a, b und c bestimmen kannst.
- Da es drei Unbekannte sind, brauchst du drei Gleichungen.
- Neben musst du auch in einsetzen.
Aufstellen der Bedingungsgleichungen
Die Funktion hat die Ableitung:
Verwende das für die Bedingungsgleichungen:
- "schneidet die y-Achse beim Wert " bedeutet, dass
- "verläuft durch den Extrempunkt " bedeutet:
Übersetzen in ein Gleichungssystem
Daraus erhältst du die drei Gleichungen:
Aus Gleichung I) erhältst du direkt
Setze in die anderen beiden Gleichungen ein und vereinfache:
Lösen des Gleichungssystems
Nach Verrechnung aller Konstanten hat das System die Form:
Löse dieses System zum Beispiel mit dem Additions/Subtraktionsverfahren:
Setze in eine der Gleichungen ein, um zu ermitteln:
Umformung: +\dfrac{1}{5}
Umformung: :4
Der Funktionsterm lautet also
Im Folgenden wird die Funktion mit und der Definitionsmenge betrachtet. Der Graph von in einem kartesischen Koordinatensystem wird mit bezeichnet.
Bestimmen Sie jeweils die Art und die Koordinaten aller Extrempunkte von und geben Sie die Wertemenge von an. (9 BE)
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Die Funktion g hat eine eingeschränkte Definitionsmenge!
- Bestimme die Randextrema
- Bestimme die "normalen" Extrempunkte
- Vergiss nicht, auch die Art und y-Koordinate zu bestimmen
- Betrachte alle y-Werte, um die Wertemenge aufzustellen
Lage der Randextrema
Da beide Ränder des Definitionsbereichs eingeschlossen sind, gibt es zwei Randextrempunkte, deren Lage du durch Einsetzen in g erhältst:
Die Art dieser Extremstellen erhältst du am einfachsten, wenn du, gemeinsam mit den normalen Extremstellen, eine Monotonietabelle anlegst.
Lage weitere Extremstellen
Bestimme die anderen Extremstellen mithilfe der 1. Ableitung:
Du brauchst die Nullstellen der 1. Ableitung:
Umformung: :\left(-0,025\right)
Bestimme die Nullstellen mit der Mitternachtsformel:
und
Beide Nullstellen liegen im Definitionsbereich und es handelt sich bei beiden Nullstellen von um Extremstellen von , da es einfache Nullstellen von sind)
Ermittele die y-Koordinate dieser Extremstellen:
Art der Extremstellen
Fertige eine Monotonietabelle an, um die Art aller Extremstellen zu bestimmen.
x | 0 | 0<x<2 | 2 | 2<x<6 | 6 | 6<x<7 | 7 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
VZ | - | 0 | + | 0 | - | ||
RHOP | TIP | HOP | RTIP |
Es gibt also die Extremstellen
Wertemenge
Der kleinste und größte y-Wert der Extrempunkte legt die Wertemenge fest:
Zeichnen Sie den Graphen unter Verwendung aller bisherigen Ergebnisse und weiterer geeigneter Funktionswerte für in ein Koordinatensystem.
Maßstab für die -Achse: , für die -Achse:
(4 BE)
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- Die y-Achse hat einen veränderten Maßstab
- Fertige eine Wertetabelle an und zeichne den Graphen. Halte dabei die Definitionsmenge ein!
Beachte, dass auf der y-Achse bei erst die markiert wird.
Beim Eintragen der Funktionswerte musst du diese geänderte Skalierung ebenfalls beachten.
Zeichne nicht über die Definitionsmenge hinaus!
Der Graph , die -Achse und die beiden Geraden mit den Gleichungen und schließen ein endliches Flächenstück ein. Berechnen Sie die Maßzahl des Flächeninhalts dieses Flächenstücks. (3 BE)
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Bestimme den Wert des bestimmten Integrals
Da das gesamte Flächenstück oberhalb der x-Achse liegt, kannst du den Flächeninhalt direkt mit dem bestimmten Integral berechnen:
Die Fläche ist also groß.