Die folgende Abbildung zeigt einen Ausschnitt des Graphen einer ganzrationalen Funktion zweiten Grades mit der Definitionsmenge .
Der Graph der Funktion und die x-Achse schließen ein endliches Flächenstück ein. Berechnen Sie die Maßzahl des Flächeninhalts dieses Flächenstücks. (4 BE)
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- Zuerst musst du einen Funktionsterm aufstellen. Verwende dazu zum Beispiel die Produktform und lese die Nullstellen ab.
- Den Öffnungsfaktor bekommst du, indem du einen Punkt einsetzt, zum Beispiel den y-Achsenabschnitt.
- Bevor du mithilfe des bestimmten Integrals die Fläche berechnen kannst, musst du den Term noch ausmultiplizieren
- Bestimme das bestimmte Integral.
Funktionsterm aufstellen
Es gibt verschiedene Wege, den Funktionsterm zu ermitteln. Hier wird die Produktform verwendet:
Die beiden Nullstellen und kannst du dem Graphen entnehmen.
Um den Öffnungsfaktor a zu bestimmen, setze zum Beispiel den Punkt ein:
Umformung: :\left(-4\right)
Multipliziere den fertigen Funktionsterm aus, damit du im nächsten Schritt gut integrieren kannst:
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Ja! Den Öffnungsfaktor kannst du auch ablesen, denn wenn du um eine Längeneinheit nach rechts gehst, gehst du zugleich eine Längeneinheit nach unten:
Zugleich ist der Graph nicht nach links oder rechts verschoben, sondern nur um 4 nach oben.
Bestimmtes Integral
Bestimme den Flächeninhalt, indem du das bestimmte Integral für berechnest.
Bilde eine Stammfunktion
Statt den Grenzen und kann man aufgrund der Achsensymmetrie auch das Doppelte vom Integral berechnen
Setze die obere Grenze und die untere Grenze ein und subtrahiere
Die Funktion mit der Definitionsmenge ist eine Stammfunktion von . Ihr Graph in einem kartesischen Koordinatensystem wird mit bezeichnet.
Beschreiben Sie den Globalverlauf des Graphen in Worten. Gehen Sie auch auf das Monotonieverhalten, die Lage und die Art der Extremstellen sowie auf die Lage der Wendestelle von ein. (4 BE)
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Du sollst den Zusammenhang zwischen dem Graphen von und dem Graphen seiner Stammfunktion F finden.
Dabei beschreibt das Monotonieverhalten von .
- Monotonie/Globalverlauf: Untersuche, wann oberhalb/unterhalb der x-Achse verläuft.
- Extremstellen: Untersuche, wo Nullstellen hat.
- Wendepunkte: Untersuche, wo Extremstellen hat.
Monotonieverhalten
Immer, wenn unterhalb der x-Achse verläuft, fällt der Graph von . Ist er oberhalb der x-Achse, steigt :
- fällt für und
- steigt für
Extremstellen
Aus dem Monotonieverhalten kannst du die Extremstellen bestimmen:
- Der Graph von wechselt bei von fallend zu steigend: Dort liegt ein Tiefpunkt
- Der Graph wechselt bei von steigend zu fallend: Dort liegt ein Hochpunkt
Globalverlauf von
- Da zu Beginn unterhalb der x-Achse verläuft, fällt der Graph von für . Er muss also von links oben kommen und es gilt .
- Für ist der Graph von erneut unterhalb der x-Achse, das heißt der Graph fällt für : .
Wendestelle
Die Wendestellen liegen bei den Nullstellen (mit Vorzeichenwechsel) der zweiten Ableitung. Dies sind zugleich die Extremstellen der 1. Ableitung.
Somit ist die Wendestelle bei .
Aussehen der Stammfunktion (nicht gefragt)
Es gibt unendlich viele Stammfunktionen von , wobei diese sich nur durch Verschiebung in y-Richtung unterscheiden. Eine mögliche Stammfunktion sieht so aus:
