Gegeben ist die Funktion mit der Definitionsmenge . Ihr Graph in einem kartesischen Koordinatensystem wird mit bezeichnet.
Untersuchen Sie den Graphen der Funktion auf Symmetrie zum Koordinatensystem. (2 BE)
Lösung anzeigen
Du kannst die Symmetrie einer ganzrationalen Funktion untersuchen, indem du die Exponenten betrachtest oder -x in die Funktion einsetzt.
Beachte die eingeschränkte Definitionsmenge!
Symmetrieuntersuchung
Da alle Exponenten gerade sind, kann eine Achsensymmetrie zur y-Achse vorliegen.
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Da
Eingeschränkte Definitionsmenge
Um final zu entscheiden, ob eine Symmetrie vorliegt, muss auch die Definitionsmenge passen.
Die Definitionsmenge ist gleichmäßig um den Ursprung verteilt.
Somit liegt tatsächlich eine Achsensymmetrie zur y-Achse vor.
Ermitteln Sie alle Extremstellen der Funktion . (4 BE)
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Um Extremstellen zu bestimmen, gehe wie folgt vor:
- Bilde die erste Ableitung
- Bestimme die Nullstellen der ersten Ableitung
- Weise nach, dass es sich um Nullstellen mit Vorzeichenwechsel handelt (sonst: Terrassenpunkte)
Es ist nicht gefragt, die Art oder Lage der Extremstellen zu bestimmen!
Ableitung bestimmen
Bestimme die Ableitungsfunktion von
Nullstellen der Ableitung
Setze die Ableitung mit gleich:
Du kannst x ausklammern.
Nach dem Satz vom Nullprodukt liegt die erste Nullstelle bei
Untersuche den anderen Faktor weiter:
Ziehe die Wurzel. Beachte, dass es zwei Lösungen gibt.
Die Funktion ist vom Grad 3 und hat maximal 3 Nullstellen. Somit muss jede Nullstelle die Vielfachheit 1 haben, also eine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel sein.
An allen drei Nullstellen von liegen also Extremstellen von .