Als Teilnehmer eines Auswahlverfahrens zur Einstellung von Werkstudenten bei einer großen
Molkerei wird Ihnen folgende Aufgabe gestellt:
Ein Schokodrink soll in einem Tetra Pak abgefüllt werden, welcher die Form einer geraden Pyramide mit quadratischer Grundfläche hat. Die vier Seitenkanten der Pyramide sollen aus verpackungstechnischen Gründen jeweils eine feste Länge von 1 dm haben.
Die Spitze S der Pyramide liegt senkrecht über dem Punkt H, in dem sich die Diagonalen der Grundfläche im rechten Winkel schneiden.
Aus verkaufstechnischen Gründen soll die Höhe des Tetra Paks mindestens 0,4 dm und höchstens 0,6 dm betragen.
Bei den Berechnungen kann auf das Mitführen von Einheiten verzichtet werden.
Stellen Sie eine Gleichung der Funktion auf. Dabei steht h für die Höhe der Pyramide in dm und für das Volumen der Pyramide in .
[Mögliches Teilergebnis: ] (4 BE)
Lösung anzeigen
- Verwende als Hauptbedingung die Formel für das Pyramidenvolumen.
- Die Nebenbedingung erhältst du über die feste Länge der Seitenkanten. Bestimme dazu zunächst x in Abhängigkeit von a. Verwende zweimal den Satz des Pythagoras.
- Setze die Nebenbedingung in die Hauptbedingung und vereinfache.
Pyramidenvolumen
Eine Pyramide mit quadratischer Grundfläche mit Seitenlänge a und Höhe h hat das Volumen:
Nebenbedingung über feste Kantenlänge
Die Seitenkanten haben laut Angabe die feste Länge 1 dm. Die Höhe, die halbe Diagonale und die Seitenkante bilden gemeinsam ein rechtwinkliges Dreieck
Mithilfe des Satz des Pythagoras erhältst du:
Allerdings hilft dir das noch nicht weiter, denn du willst das a in der Volumenformel ersetzen und in dieser Nebenbedingung kommen nur x und h vor.
Einen Zusammenhang zwischen x und a bekommst du über die Grundfläche der Pyramide:
Erneut liefert der Satz des Pythagoras:
Umformung: :4
Ersetze in der Nebenbedingung von oben das :
Umformung: -h^2
Umformung: \cdot2
Nebenbedingung in Hauptbedingung einsetzen
Ersetze nun in der Volumenformel der Pyramide das durch den soeben gefundenen Term. Dann hast du eine Formel zur Berechnung des Volumens, die nur noch von der Höhe h abhängt.
Bestimmen Sie unter den oben genannten Vorgaben, für welche Höhe h der Tetra Pak den maximalen Rauminhalt aufweist. Berechnen Sie dieses maximale Volumen. Runden Sie Ihre Ergebnisse auf zwei Nachkommastellen. (7 BE)
Lösung anzeigen
- Gib zunächst die Definitionsmenge mithilfe der Forderungen aus der Aufgabenstellung an
- Bestimme die Kandidaten für Extremstellen, indem du die Nullstellen der 1. Ableitung bestimmst
- Bestimme die y-Koordinaten der Extremstellen in der Definitionsmenge.
- Bestimme die Randextrema bzw. untersuche das Verhalten am Rand des Definitionsbereichs
- Vergiss nicht, das Volumen des Tetrapacks anzugeben.
Definitionsmenge
Aus der Aufgabenstellung weißt du, dass die Höhe mindestens 0,4 dm und höchstens 0,6 dm betragen soll. Es gilt also für die Definitionsmenge:
.
Kandidaten für Extremstellen
An den Extremstellen hat die Steigung des Graphen von V den Wert 0. Du suchst also die Nullstellen der Ableitung von :
Nullstellen der Ableitung:
Umformung: +2x^2
Umformung: :2
Ziehe die Wurzel. Beachte, dass es zwei Lösungen gibt.
Da nicht in der Definitionsmenge liegt, muss es nicht weiter beachtet werden.
Bei liegt eine Extremstelle der Funktion, da die Nullstelle der Ableitung die Vielfachheit 1 hat und der Graph der Ableitung dort deshalb das Vorzeichen wechselt. (Alternativ: Art der Extremstelle bestimmen)
Funktionswerte an Extremstellen und Rändern
Setze die gefundene Extremstelle und die beiden Ränder der Definitionsmenge und in den Funktionsterm V ein:
Für eine Höhe von hat der Tetrapack ein maximales Volumen von ungefähr