Lösen Sie die beiden folgenden Gleichungen über der Grundmenge der reellen Zahlen. (6 BE)
Lösung anzeigen
Prüfe zunächst, ob du ausklammern kannst.
Da du keine Hilfsmittel zur Verfügung hast, musst du die Lösungsformel für quadratische Gleichungen (Mitternachtsformel) entweder auswendig können oder die binomische Formel erkennen.
Da auf der linken Seite in jedem Summand ein vorkommt, kannst du ausklammern.
Der Satz vom Nullprodukt besagt, dass ein Produkt genau dann wird, wenn mindestens ein Faktor ist. Betrachte also die Faktoren einzeln:
oder
Der vordere Teil ist bereits fertig. ist eine Lösung.
Weiter geht es mit dem hinteren Teil:
Die Mitternachtsformel funktioniert, aber am einfachsten ist die 2. binomische Formel
2. binomische Formel
Eine weitere Lösung liegt also bei , also bei .
Die Lösungsmenge ist also .
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Es gibt mehrere Wege zum Ziel. Ohne Hilfsmittel ist es jedoch am einfachsten, die Gleichung umzuformen.
Achtung: Wenn man die Klammer ausmultipliziert, muss man das Substitutionsverfahren verwenden. Diese Lösung zeigt einen alternativen Weg.
Umformung: +4
Ziehe die Wurzel. Beachte, dass es zwei Lösungen gibt
Betrachte jede Gleichung einzeln
Zuerst
Umformung: +2
Diese Gleichung hat keine Lösung, denn (der Graph verläuft stets oberhalb der x-Achse).
Als nächstes
Umformung: +2
Löse mithilfe des natürlichen Logarithmus.
Es gibt also nur eine Lösung: