Aufgabe B4
Die untenstehende Skizze zeigt ein Schrägbild der Pyramide mit der Höhe , deren Grundfläche die Raute ist.
Es gilt:
Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.
Zeichnen Sie das Schrägbild der Pyramide , wobei die Strecke auf der Schrägbildachse und der Punkt links vom Punkt liegen soll.
Für die Zeichnung gilt:
Berechnen Sie sodann die Länge der Strecke und das Maß des Winkels . (4 P)
Teilergebisse:
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- Zeichne die Pyramide als Schrägbild.
- Berechnung der Hypotenuse mit dem Satz des Pythagoras und mit der geeigneten Winkelfunktion.
geg.: Pyramide ; ist eine Raute mit oder
; Höhe
ges.: Schrägbild der Pyramide ; Länge der Strecke ;
Zeichnung Schrägbild der Pyramide mit Schrägbildachse
links von ; ;
Berechnung Länge der Strecke mit Pythagoras:
Berechnung mit Tangens:
Für Punkte gilt: Die Punkte sind die Spitzen von Pyramiden mit den Höhen
Zeichnen Sie für die Pyramide und die Höhe in das Schrägbild zur Teilaufgabe (a) ein.
Berechnen Sie sodann das Maß des Winkels (4 P)
Zwischenergebnis:
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- Zeichne die Pyramide und Höhe in das Schrägbild.
- Berechne das Maß des Winkels mit dem Sinussatz.
geg.: , mit (siehe Aufgabe B 4a)
sind die Spitzen von mit Höhe
ges.: Zeichnung Pyramide für , Höhe und
Einzeichnen der Pyramide für und der Höhe siehe Graphik
Berechnung mithilfe Sinussatz:
die noch fehlenden Größen und werden wie folgt berechnet:
a)
b) mithilfe Kosinusssatz:
Einsetzen der Werte und berechnen:
, mit
c) Anwendung Sinussatz auf :
mit
Werte einsetzen und nach auflösen:
gem. Zeichnung ist nur relevant:
Zeigen Sie, dass für das Volumen der Pyramiden in Abhängigkeit von gilt: (3 P)
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Volumen der Pyramide
ges.: Volumen der Pyramide
Ansatz und Rechnung:
Volumen einer Pyramide:
Volumen der Pyramide siehe Graphik
mit und
hierbei sind und
die noch fehlende Größe wird wie folgt berechnet:
mit
Werte einsetzen in Volumenformel :
|umstellen
q.e.d.
Ermitteln Sie rechnerisch, für welchen Wert von das Volumen der zugehörigen
Pyramide um kleiner ist als das Volumen der Pyramide . (3 P)
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- Berechnung Volumen der Pyramide ;
- Vergleich des % Volumens der Pyramide mit Volumen der Pyramide und Berechnung von
Volumen der Pyramide:
; mit ; ;
Werte einsetzen:
20 % des Volumens von gegenüberstellen mit aus Aufgabe B 4.c und daraus den Wert berechnen.
x-wert berechnen
Unter den Pyramiden hat die Pyramide das größte Volumen.
Begründen Sie, weshalb das Volumen der Pyramide halb so groß ist wie das Volumen der Pyramide . (2 P)
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- Vergleich der Pyramiden-Grundflächen und -Höhen.
- Untersuche dazu die Formel für das Volumen der Pyramiden und wie sie von der Gründfläche bzw. Höhe abhängt.
Begründung
Für die Pyramide gilt .
Also haben die Pyramiden und die gleiche Höhe .
Weil die Grundfläche nur die Hälfte von ist, gilt folglich: