Die Parabel mit dem Scheitelpunkt hat eine Gleichung der Form . Die Gerade hat die Gleichung .
Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.
Zeigen Sie durch Rechnung, dass für die Gleichung der Parabel gilt:
.
Zeichnen Sie sodann die Parabel und die Gerade für in ein Koordinatensystem ein.
Für die Zeichnung: Längeneinheit
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Teilaufgabe a
Stelle mithilfe des Scheitelpunktes die Scheitelpunktform auf.
Normalform der Gleichung: . In diesem Fall:
Scheitelpunktform allgemein:
In diesem Fall: und
Daraus ergibt sich folgende Scheitelpunktform:
Binomische Formel.
Klammer auflösen.
Zusammenfassen.
Stelle für das Zeichnen der Parabel eine Wertetabelle auf.
x | -4 | -2 | 0 | 2 | 4 | 6 | 8 | 10 | 12 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
y | 3,6 | 0,4 | -2 | -3,6 | -4,4 | -4,4 | -3,6 | -2 | 0,4 |
Trage die Wertepaare (Punkte) in das Koordinatensystem und verbinde sie.
Für das Einzeichnen der Gerade benötigst du ein Steigungsdreieck.
Der y-Achsenabschnitt , Schnittpunkt
Steigung (Das bedeutet, wir gehen nach rechts und nach unten.)
Punkte auf der Geraden und Punkte
auf der Parabel haben dieselbe Abszisse und sind zusammen mit Punkten und Eckpunkte von Trapezen .
Es gilt: .
Zeichnen Sie die Trapeze für und für in das Koordinatensystem zu a) ein.
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Teilaufgabe b
Wir zeichnen als Erstes das Trapez . Dafür benötigen wir die Koordinaten der Eckpunkte.
Der Punkt für :
Bei für :
Wir zeichnen nun die Punkte und in das Koordinatensystem ein.
Den Punkt finden wir mithilfe des Vektors .
Da wir wissen, dass die Strecke hat und parallel zu ist, können wir diese nun mithilfe eines Geodreiecks einzeichnen.
Das gleiche Vorgehen ist für das zweite Trapez mit notwendig.
Der Punkt für :
Der Punkt für :
Zeichne die Punkte und ein. Finde mithilfe des Vektors Punkt . Zeichne erneut eine parallele Seite zu mit Anfangspunkt mit der Länge von .
Ermitteln Sie rechnerisch, für welche Belegungen von es Trapeze gibt.
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Teilaufgabe c
Wir suchen die Schnittpunkte der Geraden und der Parabel . Da es nur Trapeze geben kann, wenn und jeweils zwischen den Schnittpunkten liegen.
Du kannst die Schnittpunkte finden, indem du die Gleichungen gleichsetzt:
Umformung: +0,5x-1
Die folgende Gleichung kann man nun mithilfe der abc-Formel (Mitternachtsformel) lösen.
abc-Formel:
Für gibt es beliebig viele Trapeze
Berechnen Sie den Flächeninhalt der Trapeze in Abhängigkeit von . Bestimmen Sie sodann den maximalen Flächeninhalt der Trapeze und geben Sie den zugehörigen Wert für an.
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Teilaufgabe d
Flächeninhalt der Trapeze :
Wir kennen (Vektor) und .
Gesucht ist noch die Länge :
Dafür brauchen wir die Koordinaten und . Die Länge berechnen wir, indem wir die y-Koordinaten voneinander abziehen.
Jetzt können wir alle Werte in die Formel einsetzen:
Den maximalen Flächeninhalt kann man bestimmen, indem die Fläche als Parabel aufgefasst wird, mit und dann ihren Scheitelpunkt (Extrempunkt) bestimme.
Den Scheitelpunkt kann man mithilfe der Formel oder der quadratischen Ergänzung bestimmen.
allgemein:
In diesem Fall:
Mit Formel:
Mit quadratischer Ergänzung:
Ausklammern.
Quadratische Ergänzung.
Binomische Formel.
Klammer auflösen.
Der Scheitelpunkt ist .
Das heißt .
Der Punkt des Trapezes liegt auf der y-Achse.
Ermitteln Sie durch Rechnung die Koordinaten des Punktes .
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Teilaufgabe e
Wenn auf der y-Achse liegt, hat die x-Koordinate von den Wert .
Aufgrund des Gegenvektors hat und den x-Wert .
Gesucht ist der Punkt :
Ausmultiplizieren.
Klammer auflösen.
Der Punkt hat die y-Koordinate und .
Die kongruenten Trapeze und sind gleichschenklig. Zeigen Sie, dass die Strecken und jeweils lang sind. Berechnen Sie sodann das Maß der Winkel bzw. .
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Teilaufgabe f
Gegeben: und
Maß der Winkel bzw. :
Der Winkel liegt in dem rechtwinkligen Dreieck mit und .