Die nebenstehende Skizze zeigt ein Schrägbild des geraden Prismas , dessen Grundfläche das gleichschenklige Dreieck mit der Basis ist. Der Punkt ist der Mittelpunkt der Strecke , der Punkt ist der Mittelpunkt der Strecke .
Es gilt:
Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.
Zeichnen Sie das Schrägbild des Prismas , wobei die Strecke auf der Schrägbildachse und der Punkt links vom Punkt liegen soll. Für die Zeichnung gilt:
Berechnen Sie sodann das Maß des Winkels .
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Lösung a
Wie du das Schrägbild des Prismas zeichnest, kannst du dir in diesem Applet ansehen:
Tipp: Wenn die Ansicht abgeschnitten wirkt, direkt in GeoGebra öffnen.
Jetzt geht es noch darum das Maß des Winkels zu berechnen. Dazu kannst du das rechtwinklige Dreieck ansehen, denn in diesem liegt der Winkel , der genau halb so groß ist wie .
Um das Maß des Winkels zu bestimmen kannst du den Tangens verwenden. In dem Dreieck ist nämlich die Gegenkathete zu und die Ankathete. Die Länge kennst du aus der Angabe und die Länge von entspricht der Hälfte der Länge von .
Eingesetzt in die Gleichung des Tangens erhältst du dann:
Mit der Umkehrfunktion des Tangens erhältst du :
Das Maß des Winkels entspricht nun genau dem doppelten der , also:
Zeichnen Sie die Strecke in das Schrägbild zur Teilaufgabe (a) ein. Berechnen Sie sodann die Länge der Strecke sowie das Maß des Winkels .
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Lösung b
Die Strecke in das Schrägbild einzuzeichnen ist ganz einfach:
Um die Länge der Strecke und das Maß des Winkels zu berechnen ist es hilfreich sich das Dreieck anzusehen:
Wie du siehst ist das Dreieck rechtwinklig. Die Strecke ist darin die Hypotenuse. Da du die Längen der Katheten, und , kennst du bereits aus der Angabe, du kannst also den Satz des Pythagoras verwenden und erhältst:
Die Strecke ist also lang.
Jetzt musst du noch das Maß von berechnen. Da du jetzt die Längen aller Strecken in dem Dreieck kennst, kannst du dafür den Sinus, Cosinus oder Tangens verwenden. Hier wird jetzt der Tangens verwendet, für Sinus und Cosinus erhältst du das selbe Ergebnis:
Verwende wieder die Umkehrfunktion des Tangens und du bekommst das Ergebnis:
Punkte liegen auf der Strecke mit = , und . Für die Strecken mit Punkten auf der Strecke gilt: . Zeichnen Sie die Strecke für in das Schrägbild zur Teilaufgabe (a) ein und berechnen Sie deren Länge.
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Um die Länge der Strecke zu berechnen kannst du den Sinus verwenden. Dazu betrachtest du das rechtwinklige Dreieck . Darin ist die Gegenkathete des Winkels und die Hypotenuse. Mit dem Sinus gilt also:
Das Maß des Winkels kennst du bereits, die Länge der Strecke kannst du kurz berechnen: . Das kannst du jetzt in die Gleichung einsetzen und sie nach auflösen:
Alternative Lösung mit dem Strahlensatz
Um die Länge der Strecke zu berechnen, kannst du auch den Strahlensatz verwenden. Betrachte dazu das Dreieck und verwende den 2. Strahlensatz für die V-Figur, dann erhältst du:
Die Längen und kennst du bereits, die Länge der Strecke kannst du kurz berechnen: . Diese Werte kannst du nun in die Gleichung einsetzen und sie nach auflösen:
Punkte und bilden zusammen mit den Punkten und N Drachenvierecke mit dem Diagonalenschnittpunkt . Diese Drachenvierecke sind Grundflächen von Pyramiden mit der Spitze . Zeichnen Sie die Pyramide in das Schrägbild zur Teilaufgabe (a) ein. Zeigen Sie sodann, dass für das Volumen der Pyramiden in Abhängigkeit von gilt: .
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Lösung d
Um das Volumen einer Pyramide zu berechnen, musst du ihre Grundfläche und ihre Höhe kennen. Die Höhe der Pyramide entspricht der Länge und ihre Grundfläche ist die Fläche des Drachenvierecks .
Berechnung der Höhe
Berechnung der Fläche des Drachenvierecks
Die Diagonalen im Drachenviereck sind und . Mit der Formel für den Flächeninhalt gilt also:
Das Volumen der Pyramide beträgt des Volumens des Prismas Ermitteln Sie rechnerisch den zugehörigen Wert für .
Der Winkel hat das Maß . Zeichnen Sie die Strecke in das Schrägbild zru Teilaufgabe (a) ein und berechnen Sie den zugehörigen Wert für .