Im folgenden Koordinatensystem ist der Graph der Funktion mit der Gleichung mit dargestellt.
Punkte auf dem Graphen zu sind zusammen mit den Punkten und die Eckpunkte von Dreiecken .
Zeichnen Sie für das Dreieck in das Koordinatensystem zur Aufgabenstellung ein und überprüfen Sie rechnerisch, ob das Dreieck gleichseitig ist.
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Teilaufgabe a
Zeichnung des Dreiecks :
und
( x|) für :
(2|)
Zeichne die Punkte ein und verbinde sie.
Das Dreieck ist nicht gleichseitig. Beweis über drei rechtwinklige Dreiecke und mit Hilfe des Satzes des Pythagoras:
Seite [] im Dreieck (orange):
Seite [OP] im Dreieck (pink):
LE
Seite [] im Dreieck (grün):
Berechnen Sie das Maß des Winkels auf zwei Stellen nach dem Komma gerundet.
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Teilaufgabe b
Maß des Winkels mit Hilfe des Kosinussatzes:
Umformung: \cos^{-1}
Bemerkung: Alternativ können wir die Steigungen der Strecken und berechnen und benutzen, dass diese Werte jeweils der Tangens des Winkels mit der -Achse sind. Wir erhalten die Winkel und , die Differenz ist der gesuchte Winkel.
Bestimmen Sie rechnerisch den Flächeninhalt der Dreiecke in Abhängigkeit von der Abszisse der Punkte .
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Teilaufgabe c
Flächeninhalt A des Dreiecks in Abhängigkeit von x mit Hilfe von Vektoren:
Berechne den Flächeninhalt über die Determinante.
Existiert unter den Dreiecken ein rechtwinkliges Dreieck mit als Hypotenuse? Begründen Sie Ihre Antwort mithilfe einer Zeichnung in der Aufgabenstellung.
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Teilaufgabe d
Wenn das Dreieck ein rechtwinkliges Dreieck sein soll, mit Hypotenuse [OP], muss auf dem Thaleskreis liegen:
Konstruktion des Thaleskreis:
- Mittelpunkt M über die Mittelsenkrechte (pink)
- Kreis um Mittelpunkt M mit Radius (lila)
Da die Kreislinie nie die Funktion schneidet, kann es keinen Punkt geben, sodass ein rechtwinkliges Dreieck gebildet werden kann.