Die Abbildung zeigt den Körper mit und . Die Punkte und liegen in der Ebene .
Ermitteln Sie eine Gleichung von in Koordinatenform. (4 P)
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Eine Gleichung von in Koordinatenform
Erstelle zunächst die Ebenengleichung in Parameterform:
Berechne die Richtungsvektoren:
Berechne den Normalenvektor der Ebene über das Kreuzprodukt der beiden Richtungsvektoren von .
Benutze den verkürzten Normalenvektor .
Für die Normalenform gilt:
Setze und ein.
Wandle die Normalenform in die Koordinatenform um, indem das Skalarprodukt berechnet wird:
Fasse zusammen.
Die Gleichung der Ebene lautet:
Bestimmen Sie die Größe des Winkels, den mit der -Ebene einschließt. (3 P)
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Berechnung der Größe des Winkels, den mit der -Ebene einschließt
Der Normalenvektor der Ebene ist der Vektor .
Sein Betrag ist .
Der Normalenvektor der -Ebene ist .
Sein Betrag ist .
Der Winkel zwischen den beiden Ebenen berechnet sich mit:
Setze die Vektoren und ihre Beträge ein.
Berechne das Skalarprodukt.
Fasse zusammen.
Der Winkel erhält man durch Anwendung der trigonometrischen Umkehrfunktion:
Der Winkel, den mit der -Ebene einschließt, beträgt rund .
Der Flächeninhalt des Dreiecks kann mit dem Term
berechnet werden. Veranschaulichen Sie diese Tatsache durch geeignete Eintragungen in der Abbildung. (3 P)
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Veranschaulichung des Terms
In der folgenden Abbildung sind mehrere Flächen farbig markiert.
Innerhalb eines Quadrates liegen vier Dreiecke.
Warum ist es ein Quadrat?
Die Punkte A und B liegen auf diesem Quadrat. Der Punkt hat die -Koordinate und der Punkt hat die -Koordinate .
Das ist der erste Term von .
Der Punkt hat die -Koordinate und der Punkt hat die -Koordinate .
Die Fläche des gefärbten Dreiecks ist dann .
Das ist der zweite Term von .
Die beiden gefärbten Dreiecke haben die Seitenlängen und und ihre Fläche ist jeweils .
Diese beiden Dreiecksflächen ergeben zusammen den dritten Term in dem gegebenen Term.
Da vom Flächeninhalt der Quadratfläche insgesamt drei Flächeninhalte der Dreiecke subtrahiert werden, bleibt als Ergebnis der Flächeninhalt des Dreiecks übrig.
Der gegebene Term stellt also den Flächeninhalt des Dreiecks dar.
Berechnen Sie das Volumen des Körpers . (3 P)
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Das Volumen des Körpers
Der Körper setzt sich aus zwei Teilen zusammen, ein dreiseitiges Prisma und eine dreiseitige Pyramide.
Volumen des dreiseitigen Prismas
Die Grundseite ist das Dreieck aus der Aufgabe c).
Der Flächeninhalt dieses Dreiecks ist:
Das Prisma hat die Höhe , da die -Koordinate des Punktes gleich ist.
Setze die Werte für und in die Volumenformel ein:
Volumen der dreiseitigen Pyramide
Die dreiseitige Pyramide hat die gleiche Grundfläche wie das Prisma ().
Die Höhe der Pyramide ist , da die Differenz der -Koordinaten der Punkte und gleich ist.
Setze die Werte für und in die Volumenformel ein:
Das Gesamtvolumen des Körpers ist dann:
Die Ebene enthält die -Achse und den Punkt mit
Welche Kanten des Körpers von geschnitten werden, ist abhängig von . Durchläuft alle Werte zwischen und , so gibt es Bereiche , für die jeweils gilt, dass für alle Werte von die gleichen Kanten des Körpers schneidet. Bestimmen Sie den größten dieser Bereiche und geben Sie die zugehörigen Kanten an. (4 P)
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Die Ebene enthält die -Achse und den Punkt mit .
Es werden zunächst die Ebenen an den Rändern des Intervalls, in dem liegt, also die Ebenen für und betrachtet.
Für liegt der Punkt in der Ebene . Diese Ebene ist die -Ebene, die in der folgenden Abbildung eingezeichnet ist.
Für liegt der Punkt in der Ebene . Diese Ebene ist die -Ebene, die in der folgenden Abbildung eingezeichnet ist.
Interessant ist nun eine Ebene, die zwischen den Ebenen und liegt, z.B. die Ebene, die durch den Punkt verläuft.
Für welches enthält die Ebene den Punkt ?
Man erstellt eine Geradengleichung , die durch den Ursprung verläuft und den Punkt A enthält.
Der Punkt soll auf der Geraden liegen:
Es ergeben sich zwei Gleichungen:
Aus folgt:
Umformung: \cdot6
Löse nach auf.
Kürze.
Umformung: +k
Umformung: :3
Für verläuft die Ebene durch den Punkt .
Diese Ebene ist in der folgenden Abbildung dargestellt.
Durchläuft nun die Werte von bis , dreht sich die Ebene um die -Achse.
Dabei werden zwei verschiedene Bereiche durchlaufen, sodass die Ebene für alle Werte von aus die gleichen Kanten des Körpers schneidet.
Der erste Bereich ist das Intervall mit einer Intervalllänge von , der zweite Bereich ist das Intervall mit einer Intervalllänge von .
Gesucht ist der größere Bereich, also hier das Intervall .
In diesem Bereich werden die Kanten , , und geschnitten.
Auf der Kante liegt der Punkt , auf der Kante der Punkt . Das Dreieck hat in einen rechten Winkel. Bestimmen Sie die Koordinate von . (5 P)
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Die -Koordinate von
Das Dreieck hat in einen rechten Winkel. Daher gilt:
Der Punkt hat dieselben - und -Koordinaten wie der Punkt .
Berechne die Vektoren und :
Setze die Vektoren ein.
Berechne das Skalarprodukt.
Vereinfache.
Fasse zusammen.
Die erhaltene quadratische Gleichung kann mit der Mitternachtsformel (abc-Formel) oder mit der pq-Formel gelöst werden.
Hier erfolgt die Lösung mit der pq-Formel. Die Werte für und werden abgelesen:
und
Setze und ein.
Vereinfache.
Fasse zusammen.
Ziehe die Wurzel.
ist somit entweder oder . Die Lösung entfällt, da zwischen und liegen muss ( hat die -Koordinate und hat die -Koordinate ).
Die -Koordinate von ist also und der Punkt hat die Koordinaten .
Die folgende Abbildung ist nicht gefordert, sie dient nur der Veranschaulichung.
Der Körper wird so um die Gerade gedreht, dass der mit bezeichnete Eckpunkt nach der Drehung in der -Ebene liegt und dabei eine positive Koordinate hat. Die folgenden Rechnungen liefern die Lösung einer Aufgabe im Zusammenhang mit der beschriebenen Drehung:
d.h. ).
Formulieren Sie eine passende Aufgabenstellung und geben Sie die Bedeutung von an. (3 P)
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Geben Sie die Bedeutung von an
Der Körper wird so um die Gerade gedreht, dass der mit bezeichnete Eckpunkt nach der Drehung in der -Ebene liegt und dabei eine positive Koordinate hat.
Es handelt sich also um eine -Drehung.
Gegeben ist die folgende Gleichung:
Es handelt sich hier um ein Skalarprodukt, das gleich null ist. Die beiden beteiligten Vektoren müssen also senkrecht aufeinander stehen.
Der erste Vektor ist der Vektor .
Man betrachtet nun den Vektor in der eckigen Klammer.
Es handelt sich um die Differenz zwischen einem beliebigen Punkt auf der Geraden durch die Punkte und und dem Vektor .
Dabei ist die Gerade gegeben durch:
Die eckige Klammer stellt somit den Vektor dar.
Es ist also:
Formulieren Sie eine passende Aufgabenstellung
Die Lösung der Gleichung liefert für den Wert .
Einsetzen von in die Geradengleichung ergibt die Koordinaten des Lotfußpunktes .
Für den Punkt T gilt die Gleichung:
Die folgende Abbildung verdeutlicht diese Gleichung.
Der Punkt wird um gedreht, sodass der Punkt entsteht.
Dabei ist .
Aber der Vektor steht senkrecht auf dem Vektor . Deshalb muss zum der Vektor addiert werden, um zum Vektor zu kommen.
Die folgende Abbildung dient nur zur Veranschaulichung.
