Gegeben ist die reelle Funktion mit dem Definitionsbereich .
Bestimmen Sie sämtliche Nullstellen der Funktion f und deren Vielfachheit. Begründen Sie dann ohne weitere Rechnung, dass in den Intervallen sowie jeweils eine Extremstelle liegt. Geben Sie auch deren Art an. (7 BE)
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- Setze den Funktionsterm von f mit 0 gleich
- Zur Nullstellenbestimmung benötigst du die Polynomdivision und die Binomische Formel
- Gib die Vielfachheiten der Nullstellen an.
- Kombiniere die Informationen zu Position und Vielfachheiten der Nullstellen, Leitkoeffizient und Grad. Daraus kannst du die Intervalle ermitteln, in denen die Nullstellen liegen. Außerdem kannst du die Art der Extremstelle folgern. Eine Skizze kann hier helfen.
Nullstellenberechnung
Setze die Funktion mit 0 gleich.
Der Satz vom Nullprodukt besagt, dass ein Produkt genau dann den Wert 0 annimmt, wenn mindestens einer seiner Faktoren 0 wird. Darum kann man den Vorfaktor bei der Nullstellenberechnung ignorieren.
Löse also die Gleichung
Polynomdivision
Da kein x ausgeklammert werden kann (am Ende steht die Konstante 8), musst du eine Polynomdivision anwenden.
Die erste Nullstelle bekommst du durch Ausprobieren oder den Taschenrechner:
Binomische Formel
Löse die entstandene Gleichung mithilfe der 3. binomischen Formel oder durch Umformen.
Binomische Formel
Es liegt jeweils eine weitere Nullstelle bei und .
Vielfachheiten
Die Funktion ist vom Grad 3 und du hast drei unterschiedliche Nullstellen berechnet. Diese haben also jeweils die Vielfachheit 1.
Folgerung zur Art und ungefähren Position der Extremstellen
Da der Grad 3 ungerade ist und der Leitkoeffizient mit negativ, kommt die Funktion von oben und geht nach unten.
Die drei einfachen Nullstellen sind schneidende Nullstellen.
Die erste Extremstelle liegt also zwischen den ersten beiden Nullstellen und und ist ein Tiefpunkt. Die nächste Extremstelle liegt zwischen und und muss ein Hochpunkt sein.
Berechnen Sie Art und Koordinaten der Extrempunkte des Graphen . Runden Sie auf zwei Stellen nach dem Komma. (5 BE)
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Das Vorgehen zur Bestimmung von Art und Lage der Extremstellen ist immer gleich. Lediglich beim Nachweis bzw. bei der Bestimmung der Art gibt es drei parallele Wege
- Ableitung bilden
- Nullstellen der Ableitung bestimmen, um Kandidaten für Extremstellen zu finden
- Nachweis und Art der Extremstellen über präferierte Methode (2. Ableitung, Monotonietabelle, Skizze)
- Lage über Einsetzen der gefundenen Stellen in die Ausgangsfunktion
(Da die Definitionsmenge nicht eingeschränkt ist, musst du keine Randextrema beachten)
Ableitung bilden
Leite ab:
Nullstellen der Ableitung bestimmen
Setze die Ableitung mit 0 gleich.
Der Satz vom Nullprodukt erlaubt dir, den Vorfaktor zu ignorieren.
Verwende die Mitternachtsformel, um die Gleichung zu lösen:
und
Nachweis und Art über die 2. Ableitung bestimmen
Da es nur zwei Nullstellen gibt, die beide Vielfachheit 1 haben, lässt sich die Art der Extremstellen garantiert über die 2. Ableitung bestimmen.
Setze die beiden Kandidaten für Extremstellen in die 2. Ableitung ein:
. Es handelt sich also um einen Tiefpunkt.
. Es handelt sich also um einen Hochpunkt.
Lage der Extrempunkte
Setze die beiden x-Werte in die Ausgangsfunktion ein, um die y-Koordinaten zu berechnen.
Insgesamt gilt also:
und
Ermitteln Sie die maximalen Intervalle, in denen der Graph rechts- bzw. linksgekrümmt ist, sowie die Koordinaten des Wendepunkts. (4 BE)
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Um die Krümmung eines Funktionsgraphen zu ermitteln, kannst du folgendermaßen vorgehen:
- Bestimme die 2. Ableitung
- Bestimme die Nullstellen der 2. Ableitung
- Fertige eine Krümmungstabelle an. Überprüfe zugleich, ob es sich bei den Nullstellen der 2. Ableitung tatsächlich um Wendestellen handelt
- Setze die Wendestellen in die Ausgangsfunktion ein, um die y-Koordinaten der Wendepunkte zu bestimmen
Nullstellen der 2. Ableitung
Die 2. Ableitung kannst du aus der vorherigen Teilaufgabe entnehmen:
Die Nullstellen erhältst du durch einfache Umformungen:
Umformung: :\left(-\frac{1}{4}\right)
Umformung: +8
Umformung: :6
Krümmungstabelle
Verwende die gefundene Stelle in der ersten Zeile der Tabelle und betrachte das Vorzeichen in der Umgebung, um die Krümmung zu ermitteln.
Um festzustellen, ob der Graph links- bzw. rechtsgekrümmt ist, setze Werte in die 2. Ableitung ein, die kleiner bzw. größer als die Wendestelle sind.
x | |||
|---|---|---|---|
lgk | WEP | rgk |
Die Krümmungsintervalle sind also:
Linksgekrümmt in und rechtsgekrümmt
Wendepunkt
Setze die Wendestelle in den Term von f ein:
Zeichnen Sie den Graphen im Bereich auch unter Verwendung der vorliegenden Ergebnisse, in ein kartesisches Koordinatensystem (4 BE)
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Um den Funktionsgraph zu zeichnen, benötigst du eine Wertetabelle.
Zusätzlich sollen aber alle bisherigen Ergebnisse vorhanden sein.
Zeichne also zusätzlich ein:
- Nullstellen (1.1)
- Extrempunkte (1.2)
- Wendepunkt (1.3)
Die Gerade enthält die Schnittpunkte des Graphen mit der y-Achse und mit der x-Achse bei . Zeigen Sie, dass die Gerade Tangente an ist und zeichnen Sie in das vorhandene Koordinatensystem ein. (4 BE)
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- Stelle zuerst die Geradengleichung durch die gegebenen Punkte auf
- Prüfe anschließend, dass die Steigung am y-Achsenabschnitt von mit der Steigung am y-Achsenabschnitt der Tangente übereinstimmt.
Vergiss nicht, den Graphen ins Koordinatensystem einzuzeichnen.
Geradengleichung aufstellen
Die Gerade soll durch den y-Achsenabschnitt von verlaufen, also durch .
Außerdem soll sie durch verlaufen, da sie dort die x-Achse schneidet.
Der y-Achsenabschnitt kann direkt in die Geradengleichung eingesetzt werden:
Setze den y-Achsenabschnitt ein
Setze den Punkt Q ein, um m zu bestimmen
Umformung: +2
Umformung: :4
Nachweis: Tangente
Überprüfe, dass die Steigung von am y-Achsenabschnitt mit der Steigung der Geraden übereinstimmt, indem du berechnest.
Die Graphen und schließen ein endliches Flächenstück ein. Berechnen Sie die Maßzahl seines Flächeninhalts. (4 BE)
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Um die Fläche zwischen zwei Graphen zu berechnen, musst du folgendermaßen vorgehen:
- Ermittle die Begrenzungen des Flächenstücks. Hierbei kannst du die gegebenen Werte aus der letzten Teilaufgabe verwenden
- Berechne die Differenzfunktion, indem du den Funktionsterm des unteren Graphen vom Term des oberen Graphen abziehst
- Bestimme mit der Differenzfunktion und den Grenzen den Wert des bestimmten Integrals. Dazu musst du die Stammfunktion bilden.
Grenzen des Flächenstücks
Wie in der letzten Teilaufgabe angegeben sind die Grenzen und .
Differenzfunktion
Der Graph von von f verläuft in diesem Bereich über dem der Tangente. Deshalb musst du bilden.
Integral
Setze die Differenzfunktion und die Grenzen in das unbestimmte Integral ein.
Gegeben ist zusätzlich die Funktion p mit und es gilt: .
Bestimmen Sie die Nullstellen der Funktionen mit deren Vielfachheit und erläutern Sie die geometrische Bedeutung dieser Stellen für den Graphen der beiden Funktionen. (4 BE)
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Nullstellen bestimmen
Setze die Differenzfunktion mit 0 gleich:
Du kannst ausklammern:
Mit dem Satz vom Nullprodukt gilt für die Nullstellen:
mit Vielfachheit 2 und mit Vielfachheit 1
Geometrische Bedeutung
Bei berühren sich die beiden Graphen. Bei schneiden Sie sich.