Ein Tiergarten plant den Bau eines Tropenhauses, in dem ein künstliches Ökosystem mit Lebensbedingungen für tropische Pflanzen-und Tierarten geschaffen werden soll. Das Tropenhaus soll die Form eines Quaders mit aufgesetztem Halbzylinder bekommen. Der Radius des Halbzylinders wird mit bezeichnet.
Der Quader hat die Breite , die Länge und die Höhe (siehe Skizze).
Um möglichst ideale klimatische Bedingungen zu schaffen, sollen die Außenwände des Tropenhauses und das Dach aus Glas bestehen. Hierfür sind Glas vorgesehen.
Die Maßzahl des Volumens des Tropenhauses in Abhängigkeit vom Radius des Halbzylinders lässt sich durch die Funktionswerte der Funktion beschreiben.
Aus den Baurichtlinien geht hervor, dass der Radius des Halbzylinders maximal betragen darf. Der Tiergartenbetreiber fordert hierfür mindestens .
Bei den Berechnungen kann auf das Mitführen von Einheiten verzichtet werden.
Stellen Sie eine Gleichung der Funktion auf. Bestimmen Sie dazu vorab die Maßzahl des Flächeninhalts der insgesamt zu verglasenden Oberfläche des Tropenhauses in Abhängigkeit des Radius des Halbzylinders und der Höhe des Quaders. (6 BE)
(Mögliche Ergebnisse: und )
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- Überlege dir zunächst, aus welchen Teilkörpern das Tropenhaus besteht, und recherchiere die zugehörigen Formeln für Volumen und Flächeninhalt (Vorsicht! nur Außenwände aus Glas!)
- Stelle die Hauptbedingung auf. Diese ist der Term des Volumens in Abhängigkeit von der Höhe des Quaders und des Radius des Halbzylinders.
- Stelle die Nebenbedingung auf. Der Flächeninhalt aller Außenwände zusammen soll betragen.
- Forme die Nebenbedingung nach der Höhe des Quaders um und setze in die Hauptbedingung ein. Du erhältst den gesuchten Term .
Volumen von Quader und Halbzylinder
Der Quader, der den unteren Teil des Tropenhauses bildet, hat das Volumen
Allgemeiner Term
Anpassung auf die Situation (Angaben aus Text und Skizze).
Vereinfache.
Der halbe Zylinder, der das Dach des Tropenhauses bildet, hat das Volumen
Allgemeiner Term: Hälfte vom Zylindervolumen
Anpassung auf die Situation (Angaben aus Text und Skizze).
Hauptbedingung durch Zusammensetzen der Teilkörper
Durch Addition der Volumina ergibt sich das Gesamtvolumen des Tropenhauses. Da dieses maximal sein soll, bildet es die Hauptbedingung oder Zielfunktion des Extremwertproblems:
Um das Volumen nur in Abhängigkeit vom Radius auszudrücken, wie es in der Aufgabe verlangt ist, bedarf es noch einer Nebenbedingung, um zu eliminieren.
Oberflächeninhalt des Tropenhauses
Aus der Angabe geht hervor, dass Glas für alle Außenwände verwendet werden sollen (über die Sinnhaftigkeit, dass diese Angabe bereits fix ist, obwohl Radius und Höhe noch nicht feststehen, lässt sich streiten).
Für den Oberflächeninhalt gilt:
Vereinfache.
(Diese Gleichung ist als Kontrollergebnis angegeben.)
Aufgrund der oben erwähnten Glasmenge, die verbaut werden soll, ergibt sich die Gleichung als Nebenbedingung.
Angabe der Zielfunktion in Abhängigkeit von r
Forme nun die Nebenbedingung nach um und setze sie in die Hauptbedingung ein.
Umformung: -4\pi r^2
Umformung: :10r
Setze in die Hauptbedingung ein:
Ersetze durch den linken Teil der obigen Gleichung
Vereinfache.
Fasse zusammen.
Als Funktion ergibt sich also:
(Dieser Term ist als Kontrollergebnis gegeben.)
Um den Pflanzen und Tieren möglichst viel Lebensraum zur Verfügung zu stellen, soll das Tropenhaus maximalen Rauminhalt besitzen.
Bestimmen Sie den Radius so, dass die Maßzahl des Volumens des Tropenhauses den absolut größten Wert annimmt und geben Sie diesen maximalen Wert an. Runden Sie Ihre Ergebnisse auf zwei Nachkommastellen. (7 BE)
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- Verwende in jedem Fall das angegebene Endergebnis zur weiteren Rechnung.
- Bestimme den Definitionsbereich von aus dem Angabentext. Er ist wichtig für die berechneten Extremstellen und für eventuelle Randextrema.
- Bestimme z. B. mithilfe von 1. und 2. Ableitung die Kandidaten für Extremstellen und ihre Art.
- Bestimme das zugehörige Volumen beim Hochpunkt.
- Untersuche die Volumina an den Rändern des Definitionsbereichs (Randextrema).
- Formuliere einen Antwortsatz mit dem absolut größten Volumen.
Definitionsmenge von V
Aus dem Angabentext kannst du entnehmen, dass der Radius mindestens und maximal groß sein soll. Du musst also zur Angabe der Definitionsmenge keine Überlegungen/Berechnungen durchführen und erhältst direkt:
Beachte, dass es aufgrund der eingeschlossenen Intervallgrenzen Randextrema gibt.
Kandidaten für Extremstellen mithilfe der 1. Ableitung
Bilde die 1. Ableitung :
Bestimme die Nullstellen der 1. Ableitung:
Umformung: +2,7\pi r^2
Umformung: :\left(2,7\pi\right)
Beim Radizieren (Wurzelziehen) ergeben sich zwei Lösungen.
Da muss diese potentielle Extremstelle nicht weiter untersucht werden.
Art der Extremstelle
Du kannst die Art der Extremstelle zum Beispiel mithilfe der 2. Ableitung bestimmen. Alternativ geht es auch über eine Monotonietabelle.
Setze in ein. Du benötigst nur das Vorzeichen der Lösung, nicht den genauen Wert.
Hochpunkt/Maximum vom Graphen von
Zugehöriges Volumen
Setze deine gefundene Extremstelle in den Term von ein, um das zugehörige Volumen in Abhängigkeit vom gefundenen Radius zu berechnen:
Randextrema
Da die Ränder des Definitionsbereichs selbst in der Definitionsmenge enthalten sind, musst du überprüfen, ob das Volumen dort größer ist als beim gerade berechneten Maximum (suche nach dem globalen Maximum im Definitionsbereich).
und
und somit absolutes Maximum bei .
Antwort im Sachkontext
Unter Beachtung der vorhandenen Menge an Glasplatten entsteht das größte Volumen , wenn der Radius beträgt.