Eine Wurzelgleichung ist eine Gleichung, bei der die Variable (meistens als bezeichnet) mindestens einmal unter einer Quadratwurzel steht.
Eine Wurzelgleichung ist z.B. die Gleichung
Wurzelgleichungen mit höheren Wurzelexponenten als werden in diesem Artikel nicht behandelt.
In einer Wurzelgleichung können Wurzeln auch mehrfach vorkommen, z.B.
- Wurzelgleichungen mit zwei Wurzeln, z.B.
- Wurzelgleichungen mit drei Wurzeln, z.B.
Wie werden Wurzelgleichungen gelöst?
Dazu sind folgende Schritte erforderlich:
1. Definitionsbereich für die Wurzel bzw. Wurzeln bestimmen
2. Auflösung der Wurzelgleichung
3. Überprüfung der erhaltenen Lösungen
Vorgehensweise
Die Vorgehensweise wird anhand einer Wurzelgleichung, in der nur eine Wurzel vorkommt, erläutert. Die Wurzelgleichung soll gelöst werden.
1. Definitionsbereich für die Wurzel bestimmen
Zur Bestimmung des Definitionsbereichs für die Wurzel finde heraus, wann der Radikand größer oder gleich null ist.
Im Fall der Wurzelgleichung ist die Wurzel für definiert.
Damit ist auch der Definitionsbereich für die Wurzelgleichung festgelegt:
.
Ausführliche Erklärung für die Bestimmung des Definitionsbereichs der Wurzel
Der Definitionsbereich einer Wurzel ist die Menge der Zahlen, die in die Wurzel eingesetzt werden dürfen. Unter Quadratwurzeln darf kein negativer Radikand stehen, d.h. der Radikand muss größer oder gleich null sein.
Für die Wurzel wird geprüft, wann der Radikand größer oder gleich null ist.
Umformung: -1
Löse nach auf.
Umformung: :3
Der Definitionsbereich (Gültigkeitsbereich) für die Wurzel ist:
Da nur eine Wurzel in der Wurzelgleichung auftritt, gilt der angegebene Definitionsbereich auch für die Wurzelgleichung .
Der Definitionsbereich für die Wurzelgleichung kann an der Zahlengeraden veranschaulicht werden.
2. Auflösung der Wurzelgleichung
- Ist in der Wurzelgleichung nur eine Wurzel vorhanden, dann muss diese Wurzel auf eine Seite der Gleichung gebracht werden.
- Die Wurzel kannst du durch Quadrieren auflösen.
- Löse die erhaltene Gleichung nach auf.
Für die Wurzelgleichung sind demnach die folgenden Schritte notwendig:
Durch Umformung der Wurzelgleichung erhältst du die Gleichung .
Quadriere beide Seiten der Wurzelgleichung.
Du hast die Gleichung erhalten.
Löse die Gleichung nach auf. .
Ausführliche Erklärung für die Auflösung der Wurzelgleichung
- Ist in der Wurzelgleichung nur eine Wurzel vorhanden, dann muss diese Wurzel auf eine Seite der Gleichung gebracht werden.
Umformung: +5
Die Wurzel muss allein auf einer Seite stehen.
- Löse die Wurzel durch Quadrieren auf.
Umformung: ()^2
Beseitige die Wurzel durch Quadrieren.
Du hast die Gleichung erhalten, die du nach der Variablen auflösen kannst.
- Löse die erhaltene Gleichung nach auf.
Umformung: -1
Löse nach auf.
Umformung: :3
Du hast als mögliche Lösung erhalten.
3. Überprüfung der erhaltenen Lösungen
- Du hast eine oder mehrere mögliche Lösungen für die Wurzelgleichung erhalten. Nun musst du prüfen, ob die Lösungen im Definitionsbereich der Wurzelgleichung liegen.
- Für alle Lösungen der Wurzelgleichung, die im Definitionsbereich der Wurzelgleichung liegen, muss noch eine Probe durchgeführt werden. Das heißt, die gefundenen Lösungen werden in die Wurzelgleichung eingesetzt und es wird geprüft, ob sich eine wahre oder falsche Aussage ergibt. Die Lösungen, die zu einer wahren Aussage führen, sind Lösungen der Wurzelgleichung und werden als Lösungsmenge der Wurzelgleichung angegeben. Für die Wurzelgleichung hast du die Lösung erhalten. Prüfe, ob die Lösung im Definitionsbereich der Wurzelgleichung liegt. Das ist hier der Fall, da ist. Setze jetzt in die Wurzelgleichung ein. Du erhältst eine wahre Aussage, d.h. erfüllt die gegebene Wurzelgleichung. Gib die Lösungsmenge der Wurzelgleichung an:
Ausführliche Erklärung für die Überprüfung der erhaltenen Lösungen
- Die erhaltenen Lösungen werden überprüft, ob sie im Definitionsbereich der Wurzelgleichung liegen.
Die Lösung liegt im Definitionsbereich für die Wurzelgleichung, da .
- Führe nun eine Probe durch:
Probe für :
Setze in die Wurzelgleichung ein:
Fasse zusammen.
Ziehe die Wurzel.
Du hast eine wahre Aussage erhalten. ist Lösung der Wurzelgleichung.
Die Lösungsmenge für die Wurzelgleichung ist:
Graphische Lösung der Wurzelgleichung als Ergänzung
Graphische Lösung der Wurzelgleichung .
Setze dafür und und zeichne die Graphen (gegebenenfalls mithilfe einer Wertetabelle) in ein Koordinatensystem.
Beim Schnittpunkt gilt:
bzw. .
Der -Wert (die Abszisse) des Schnittpunktes der beiden Graphen liefert dann die Lösung der Wurzelgleichung. Es ist
Nachfolgend wird die Vorgehensweise bei der Lösung von Wurzelgleichungen, in denen zwei bzw. drei Wurzeln vorkommen, erläutert.
Beispiel für eine Wurzelgleichung mit zwei Wurzeln
Bestimme die Lösungsmenge der Wurzelgleichung
1. Definitionsbereich für die Wurzeln bestimmen
Der Definitionsbereich einer Wurzel ist die Menge der Zahlen, die in die Wurzel eingesetzt werden dürfen. Unter Quadratwurzeln darf kein negativer Radikand stehen, d.h. der Radikand muss größer oder gleich null sein.
Bestimme nacheinander den Definitionsbereich der vorkommenden Wurzeln.
Erste Wurzel:
Prüfe, wann der Radikand größer oder gleich null ist.
Umformung: -5
Löse nach auf.
Somit ergibt sich der Definitionsbereich für die erste Wurzel
Zweite Wurzel:
Prüfe, wann der Radikand größer oder gleich null ist.
Umformung: -3
Löse nach auf.
Umformung: :2
Für die zweite Wurzel gilt:
Der gemeinsame Definitionsbereich für beide Wurzeln kann an der Zahlengeraden veranschaulicht werden. Der Bereich, indem sich die beiden Strahlen überschneiden, ist der Definitionsbereich (Gültigkeitsbereich) für die Wurzelgleichung.
Ab überschneiden sich die beiden Gültigkeitsbereiche für die Wurzeln.
Für die Wurzelgleichung gilt dann:
Alle Umformungen erfolgen nun unter der allgemeinen Annahme, dass ist.
2. Auflösung der Wurzelgleichung
- Löse die Wurzeln durch Quadrieren auf.
Umformung: ()^2
Beseitige die Wurzeln durch Quadrieren. Verwende auf der linken Seite eine binomische Formel.
Fasse zusammen.
Umformung: -x
Die Wurzel muss allein auf einer Seite stehen.
Umformung: -6
Du hast wieder eine Wurzelgleichung erhalten, die durch nochmaliges Quadrieren gelöst werden kann.
Umformung: ()^2
Beseitige die Wurzeln durch Quadrieren.
Löse auf der linken Seite die Klammer auf und verwende auf der rechten Seite eine binomische Formel.
Umformung: -4x-20
Bringe alle Terme auf eine Seite.
- Erhaltene Gleichung lösen
Du hast die quadratische Gleichung erhalten. Diese kannst du mit der Mitternachtsformel (abc-Formel) oder mit der pq-Formel lösen.
Hier erfolgt die Lösung mit der pq-Formel.
Lies die Werte für und ab und setze sie in die pq-Formel ein:
und
Setze und ein.
Vereinfache.
Vereinfache.
Ziehe die Wurzel.
Somit ergeben sich die beiden Lösungen der quadratischen Gleichung:
und
Somit ist und/oder .
3. Überprüfung der erhaltenen Lösungen
Die beiden Lösungen und liegen im Definitionsbereich für die Wurzelgleichung, denn es ist und .
Führe jeweils eine Probe durch:
Probe für :
Setze in die Wurzelgleichung ein:
Vereinfache.
Ziehe die Wurzeln.
Du hast eine falsche Aussage erhalten.
Somit ist keine Lösung der Wurzelgleichung.
Probe für :
Setze in die Wurzelgleichung ein:
Vereinfache.
Ziehe die Wurzeln.
Du hast eine wahre Aussage erhalten. ist Lösung der Wurzelgleichung.
Die Lösungsmenge für die Wurzelgleichung ist:
Graphische Lösung der Wurzelgleichung als Ergänzung
Graphische Lösung der Wurzelgleichung
Setze dafür und und zeichne die Graphen (gegebenenfalls mithilfe einer Wertetabelle) in ein Koordinatensystem.
Beim Schnittpunkt gilt:
.
Der -Wert (die Abszisse) des Schnittpunktes der beiden Graphen liefert dann die Lösung der Wurzelgleichung. Es ist
Beispiel für eine Wurzelgleichung mit drei Wurzeln
Bestimme die Lösungsmenge der Wurzelgleichung
1. Definitionsbereich für die Wurzeln bestimmen
Der Definitionsbereich einer Wurzel ist die Menge der Zahlen, die in die Wurzel eingesetzt werden dürfen. Unter Quadratwurzeln darf kein negativer Radikand stehen, d.h. der Radikand muss größer oder gleich null sein.
Bestimme nacheinander den Definitionsbereich der vorkommenden Wurzeln.
Erste Wurzel:
Prüfe, wann der Radikand größer oder gleich null ist.
Umformung: :2
Löse nach auf.
Umformung: +1
Somit ergibt sich der Definitionsbereich für die erste Wurzel
Zweite Wurzel:
Hier gilt:
Dritte Wurzel:
Prüfe, wann der Radikand größer oder gleich null ist.
Umformung: +2
Löse nach auf.
Umformung: :3
Der Definitionsbereich für die dritte Wurzel
Der gemeinsame Definitionsbereich für die drei Wurzeln kann an der Zahlengeraden veranschaulicht werden. Der Bereich, indem sich die drei Strahlen überschneiden, ist der Definitionsbereich (Gültigkeitsbereich) für die Wurzelgleichung.
Ab überschneiden sich die drei Gültigkeitsbereiche für die Wurzeln.
Für die Wurzelgleichung gilt dann:
Alle Umformungen erfolgen nun unter der allgemeinen Annahme, dass ist.
2. Auflösung der Wurzelgleichung
- Löse die Wurzeln durch Quadrieren auf.
Umformung: ()^2
Beseitige die Wurzeln durch Quadrieren. Achte auf der linken Seite darauf, eine binomische Formel anzuwenden.
Löse die Klammer auf.
Fasse zusammen.
Umformung: -3x-2
Die Wurzel muss allein auf einer Seite stehen.
Umformung: :2
Du hast erneut eine Wurzelgleichung erhalten, die durch nochmaliges Quadrieren gelöst werden kann.
Umformung: ()^2
Beseitige die Wurzel durch Quadrieren.
Umformung: :2
Vereinfache.
- Löse die erhaltene Gleichung nach der Variablen auf
Du hast die Gleichung erhalten. Diese kannst du mit dem Satz vom Nullprodukt lösen.
Die Nullproduktregel sagt aus, wenn das Produkt von und gleich 0 ist, so ist oder
Somit ist und/oder .
3. Überprüfung der erhaltenen Lösungen
Prüfe, ob die Lösungen und im Definitionsbereich der Wurzelgleichung liegen.
liegt nicht im Definitionsbereich für die Wurzelgleichung, da ist.
Diese Lösung entfällt also.
liegt im Definitionsbereich für die Wurzelgleichung, denn .
Führe die Probe für durch:
Setze in die Wurzelgleichung ein:
Fasse zusammen.
Fasse zusammen.
Ziehe die Wurzeln.
Du hast eine wahre Aussage erhalten. Somit ist Lösung der Wurzelgleichung.
Die Lösungsmenge für die Wurzelgleichung ist:
Graphische Lösung der Wurzelgleichung als Ergänzung
Graphische Lösung der Wurzelgleichung
Setze dafür und und zeichne die Graphen (gegebenenfalls mithilfe einer Wertetabelle) in ein Koordinatensystem.
Beim Schnittpunkt gilt:
Der -Wert (die Abszisse) des Schnittpunktes der beiden Graphen liefert dann die Lösung der Wurzelgleichung. Es ist
