Löse die folgenden Wurzelgleichungen.
Lösung anzeigen
Folgende Schritte sind erforderlich:
- Definitionsbereich für die Wurzel bestimmen
- Ist nur eine Wurzel vorhanden, dann muss diese Wurzel auf eine Seite der Gleichung gebracht werden
- Enthält die Gleichung neben anderen Gliedern mehrere Wurzeln, so ist mehrfaches Quadrieren notwendig
- Beseitigung der Wurzel durch Quadrieren
- Erhaltene Gleichung lösen
- Probe für alle erhaltenen Lösungen durchführen
- Lösungsmenge angeben
Anmerkung: Das Quadrieren ist keine Äquivalenzumformung. Durch das Quadrieren können zusätzliche Lösungen erzeugt werden. Es gehen aber keine Lösungen verloren. Deshalb ist unbedingt eine Probe erforderlich.
1. Definitionsbereich für die Wurzel bestimmen
Der Definitionsbereich einer Funktion umfasst die Menge der Zahlen, die in die Funktion eingesetzt werden dürfen. Unter geraden Wurzeln darf kein negativer Radikand stehen, d.h. der Radikand muss größer oder gleich null sein.
: Prüfe, wann der Radikand größer oder gleich ist.
Umformung: +x^2
Du hast die Ungleichung erhalten. Sie ist wahr, wenn .
Der Gültigkeitsbereich für die Wurzel kann an der Zahlengeraden veranschaulicht werden.
Der Definitionsbereich (Gültigkeitsbereich) für die Wurzelgleichung ist:
Alle Umformungen erfolgen nun unter der allgemeinen Annahme, dass ist.
2. Der Wurzelterm muss allein auf einer Seite der Gleichung stehen.
Das ist hier bereits der Fall.
3. Beseitigung der Wurzel durch Quadrieren
Umformung: ()^2
Beseitige die Wurzel durch Quadrieren.
Umformung: +x^2
Löse nach auf.
Umformung: :2
Umformung: \sqrt{}
Du hast die beiden Lösungen und/oder erhalten.
Beide Lösungen liegen im Definitionsbereich für die Wurzel:
und
4. Probe für alle erhaltenen Lösungen durchführen
Probe für :
Setze in die Wurzelgleichung ein:
Vereinfache.
Vereinfache.
Ziehe die Wurzel
Du hast eine falsche Aussage erhalten.
Somit ist keine Lösung der Wurzelgleichung.
Probe für :
Setze in die Wurzelgleichung ein:
Vereinfache.
Vereinfache.
Ziehe die Wurzel
Du hast eine wahre Aussage erhalten. Somit ist Lösung der Wurzelgleichung.
5. Lösungsmenge angeben
Graphische Lösung als Ergänzung
Es ist und
.
Der -Wert (die Abszisse) des Schnittpunkts der beiden Graphen liefert die Lösung der Gleichung
, also .
Lösung anzeigen
Folgende Schritte sind erforderlich:
- Definitionsbereich für die Wurzel bestimmen
- Ist nur eine Wurzel vorhanden, dann muss diese Wurzel auf eine Seite der Gleichung gebracht werden
- Anhält die Gleichung neben anderen Gliedern mehrere Wurzeln, so ist mehrfaches Quadrieren notwendig
- Beseitigung der Wurzel durch Quadrieren
- Erhaltene Gleichung lösen
- Probe für alle erhaltenen Lösungen durchführen
- Lösungsmenge angeben
Anmerkung: Das Quadrieren ist keine Äquivalenzumformung. Durch das Quadrieren können zusätzliche Lösungen erzeugt werden. Es gehen aber keine Lösungen verloren. Deshalb ist unbedingt eine Probe erforderlich.
1. Definitionsbereich für die Wurzel bestimmen
Der Definitionsbereich einer Funktion umfasst die Menge der Zahlen, die in die Funktion eingesetzt werden dürfen. Unter geraden Wurzeln darf kein negativer Radikand stehen, d.h. der Radikand muss größer oder gleich null sein.
: Prüfe, wann der Radikand größer oder gleich null ist.
Umformung: +4x^2
Löse nach auf.
Umformung: :4
Du hast die Ungleichung erhalten. Sie ist wahr, wenn .
Der Gültigkeitsbereich für die Wurzel kann an der Zahlengeraden veranschaulicht werden.
Der Definitionsbereich (Gültigkeitsbereich) für die Wurzelgleichung ist:
Alle Umformungen erfolgen nun unter der allgemeinen Annahme, dass ist.
2. Der Wurzelterm muss allein auf einer Seite der Gleichung stehen.
Das ist hier bereits der Fall.
3. Beseitigung der Wurzel durch Quadrieren
Umformung: ()^2
Beseitige die Wurzel durch Quadrieren.
Umformung: +4x^2-5
Löse nach auf.
4. Erhaltene Gleichung lösen
Du hast eine biquadratische Gleichung erhalten.
Diese Gleichung lässt sich lösen, indem man durch ersetzt (substituiert).
Da ist, wird durch die Substitution zu .
Du hast nun die quadratische Gleichung erhalten. Diese kannst du mit der Mitternachtsformel (abc-Formel) oder mit der pq-Formel lösen. Hier erfolgt die Lösung mit der pq-Formel.
Lies die Werte für und ab:
und
Setze die Werte in die pq-Formel ein:
Setze und ein.
Vereinfache.
Vereinfache.
Ziehe die Wurzel.
Du hast die beiden Werte und erhalten. Nun muss wieder resubstituiert werden:
Da (also ) gesetzt wurde, können nun die Lösungen der ursprünglichen Gleichung bestimmt werden:
also ist keine Lösung
also ist
Somit ist und/oder .
Beide Lösungen liegen im Definitionsbereich für die Wurzel:
und
5. Probe für alle erhaltenen Lösungen durchführen
Probe für :
Setze in die Wurzelgleichung ein:
Vereinfache.
Vereinfache.
Ziehe die Wurzel
Du hast eine wahre Aussage erhalten. Somit ist Lösung der Wurzelgleichung.
Probe für :
Setze in die Wurzelgleichung ein:
Vereinfache.
Vereinfache.
Ziehe die Wurzel
Du hast wieder eine wahre Aussage erhalten. Somit ist auch Lösung der Wurzelgleichung.
6. Lösungsmenge angeben
Graphische Lösung als Ergänzung
Es ist und
.
Die -Werte (die Abszissen) der Schnittpunkte der beiden Graphen liefern die Lösungen der Gleichung
, also und
, also .
