Gegeben ist die Funktion .
Bestimme den maximalen Definitionsbereich.
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Der Definitionsbereich einer Funktion umfasst die Menge der Zahlen, die in die Funktion eingesetzt werden dürfen.
Unter geraden Wurzeln darf kein negativer Radikand stehen, d.h. der Radikand muss größer oder gleich null sein.
Beide Wurzeln im Funktionsterm müssen untersucht werden:
Wurzelterm 1:
Prüfe, wann der Radikand größer oder gleich null ist.
Umformung: -1,5
Wurzelterm 2:
Prüfe, wann der Radikand größer oder gleich null ist.
Umformung: +1
Umformung: :2
Damit hat die Funktion den maximalen Definitionsbereich:
(Mit ist die Bedingung für den . Wurzelterm auch erfüllt.)
Zeichne mithilfe einer Wertetabelle den Graphen der Funktion für
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Für die Wertetabelle werden einige Funktionswerte berechnet.
Beginne mit dem linken Rand des Definitionsbereiches mit .
(gerundete Werte) | |
|---|---|
Graphische Darstellung:
Berechne den Schnittpunkt mit der -Achse.
Tipp: Es muss zweimal quadriert werden.
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Die -Achse wird geschnitten, wenn ist.
Setze .
Umformung: +4
Umformung: ()^2
Beseitige die Wurzeln durch Quadrieren, beachte die binomische Formel.
Fasse zusammen.
Umformung: -0,5-3x
Der Wurzelterm muss allein auf einer Seite stehen.
Umformung: ()^2
Du hast wieder eine Wurzelgleichung erhalten. d.h. es muss erneut quadriert werden.
Umformung: ()^2
Beseitige die Wurzel durch Quadrieren.
Vereinfache. Beachte die binomische Formel auf der rechten Seite.
Fasse zusammen und löse die Klammer auf.
Umformung: -8x^2-8x+6
Bringe alle Terme auf eine Seite.
Du hast die quadratische Gleichung erhalten. Diese kannst du nun mit der Mitternachtsformel (abc-Formel) oder mit der p-q-Formel lösen. Hier erfolgt die Lösung mit der p-q-Formel.
Lies die Werte für und ab:
und
Setze die Werte in die p-q-Formel ein:
Setze und ein.
Vereinfache.
Du hast die Lösungen und erhalten. Bei der Berechnung dieser Lösungen wurde quadriert. Da das Quadrieren keine Äquivalenzumformung ist, muss geprüft werden, welche der beiden Lösungen die gesuchte Lösung der Gleichung ist.
Probe mit :
Setze in ein:
Vereinfache.
Ziehe die Wurzeln.
Fasse zusammen.
und somit ist keine Lösung der Wurzelgleichung und somit auch keine Nullstelle.
Probe mit :
Setze in ein:
Vereinfache.
Ziehe die Wurzeln.
Fasse zusammen.
und somit ist die Lösung der Wurzelgleichung und damit die gesuchte Nullstelle.
Antwort: Der Schnittpunkt mit der -Achse lautet: .