Gegeben ist die in definierte Funktion mit . Die Abbildung zeigt den Graphen von ohne das zugrunde liegende Koordinatensystem.
Zeigen Sie anhand des Funktionsterms von , dass der Graph von symmetrisch bezüglich des Koordinatenursprungs ist. Begründen Sie, dass genau eine Nullstelle hat, und geben Sie den Grenzwert von für an. (4P)
Lösung anzeigen
- Symmetrie zum Koordinatenursprung
Wenn der Graph von symmetrisch bezüglich des Koordinatenursprungs ist, dann gilt:
Setze in den Funktionsterm ein und überprüfe, ob ist:
Der Graph von ist symmetrisch bezüglich des Koordinatenursprungs.
- Die Funktion hat genau eine Nullstelle
Ein Produkt ist null, wenn einer der Faktoren null ist (Satz vom Nullprodukt).
Also hat die Funktion nur eine Nullstelle bei .
- Grenzwert von für
Der Exponent der -Funktion hat den Grenzwert . Die -Funktion geht dort stärker gegen , als geht.
Bestimmen Sie einen Term der ersten Ableitungsfunktion von . (2P)
(zur Kontrolle: )
Lösung anzeigen
Gegeben ist die Funktion:
Die Funktion ist das Produkt zweier Funktionen. Man bringt die Funktion in die Form
Dazu setzt man und .
Die Ableitung des Produktes zweier Funktionen und ist dann:
Berechnet werden müssen die beiden Ableitungen der Funktionen und .
Die Ableitung von ist .
Bei der Ableitung von v(x) muss beachtet werden, dass diese Funktion eine verkettete Funktion ist, d.h. bei der Ableitung von muss die Kettenregel angewendet werden.
Dabei ist die Funktion die -Funktion und
Dann ist
Die Ableitung von ist und
Damit folgt für die Ableitung von :
.
Man setzt nun in die Formel für die Produktregel ein und erhält:
Setze , , und ein.
Klammere aus.
Der Term der ersten Ableitungsfunktion von lautet:
Untersuchen Sie rechnerisch das Monotonieverhalten von . Ergänzen Sie in der Abbildung die Koordinatenachsen und skalieren Sie diese passend. (5P)
Lösung anzeigen
Monotonieverhalten von
Man bestimmt das Monotonieverhalten einer differenzierbaren Funktion über ihre erste Ableitung:
ist streng monoton steigend
ist streng monoton fallend
Suche zunächst die Stellen, an denen ist.
Das Produkt ist null, wenn einer der Faktoren null ist (Satz vom Nullprodukt).
und
Für eine Vorzeichentabelle berechnet man einige Ableitungswerte. Man wählt einen Wert der kleiner als ist, z.B. und berechnet :
Dann wählt man einen Wert , der zwischen und liegt, z.B. und berechnet :
Man wählt einen Wert der größer als ist, z.B. und berechnet :
Mit diesen berechneten Werten ergibt sich die folgende Tabelle:
Details anzeigen
Die erste Ableitung der Funktion hat die beiden einfachen Nullstellen und . Diese Nullstellen bedingen einen Vorzeichenwechsel von an diesen beiden Stellen.
Weiterhin ist
Damit folgt für ein , dass sein muss. Ebenso folgt, dass für ein ebenfalls sein muss.
Somit ergibt sich bei ein Vorzeichenwechsel von , d.h. an der Stelle befindet sich ein . Für gibt es einen Vorzeichenwechsel von , d.h. an der Stelle befindet sich ein .
Die Funktion hat folgendes Monotonieverhalten.
Im Intervall ist streng monoton fallend, im Intervall ist streng monoton steigend und im Intervall ist streng monoton fallend.
Koordinatenachsen einzeichnen und skalieren
Der Graph von ist symmetrisch bezüglich des Koordinatenursprungs (nach Aufgabe )). Man zeichnet den Koordinatenursprung so ein, dass sich die Punktsymmetrie ergibt. Da der Graph von nur eine Nullstelle bei hat (siehe Aufgabe )), muss die -Achse so gelegt werden, dass es nur einen Schnittpunkt mit ihr gibt.
Für hat die Funktion einen Hochpunkt, d.h es muss berechnet werden:
Mit dieser Information kann dann die x-Achse und die y-Achse skaliert werden.
Die Abbildung zeigt die zusätzlich eingezeichneten Koordinatenachsen und die Skalierung der Achsen.
Ist die erste Ableitungsfunktion einer in definierten Funktion , so gilt bekanntlich . Berechnen Sie damit den Wert des Terms . (3P)
Lösung anzeigen
Gegeben ist die Funktion .
Die Funktion ist hier und die Funktion ist damit:
.
Für die Ableitung von ergibt sich:
In der Funktion steht aber als Faktor und nicht .
Da ist, kann die Funktion geschrieben werden als:
(identisch mit ).
In der Klammer der Funktion steht jetzt .
Ein Minuszeichen wird vor das Integral gezogen und die in der Aufgabenstellung angegebene Integrationsregel kann angewendet werden.
In die Klammer wird für die obere Grenze eingesetzt und minus die Klammer mit dem eingesetzten Wert für die untere Grenze gerechnet.
Löse die Klammer auf.
Mit erhält man das Ergebnis.
Der Wert des Terms ist .
Interpretieren Sie den folgenden Sachverhalt geometrisch:
Für jede Stammfunktion von und für jede reelle Zahl gilt
. (3P)
Lösung anzeigen
Das Integral berechnet den Flächeninhalt zwischen und der -Achse im Bereich von bis (siehe Abbildung mit Koordinatenachsen).
Entsprechend wird mit ebenfalls der Flächeninhalt zwischen und der -Achse im Bereich von bis berechnet. Ist , dann unterscheiden sich die beiden Flächeninhalte nicht mehr wesentlich voneinander. Sie sind ungefähr gleich groß.