Gegeben sind die Punkte , und , die in der Ebene liegen, sowie die Gerade , .
Bestimmen Sie die Länge der Strecke . Zeigen Sie, dass das Dreieck bei rechtwinklig ist, und begründen Sie damit, dass die Strecke Durchmesser des Umkreises des Dreiecks ist. (4 P)
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Länge der Strecke [PQ]
Für die Länge der Strecke berechnet man den Vektor und dann dessen Betrag.
Die Länge der Strecke beträgt .
Dreieck PQR ist bei R rechtwinklig
Die beiden Vektoren und müssen senkrecht aufeinander stehen.
Man berechnet beide Vektoren und prüft, ob das Skalarprodukt null ist.
Damit ist gezeigt, dass das Dreieck bei rechtwinklig ist.
Die Strecke [PQ] ist Durchmesser des Umkreises des Dreiecks PQR.
Du hast bereits nachgewiesen, dass das Dreieck rechtwinklig bei R ist, damit ist die Seite die Hypotenuse und somit gleichzeitig längste Seite des Dreiecks.
Die Umkehrung des Satzes des Thales besagt: In einem rechtwinkligen Dreieck ist der Mittelpunkt der Hypotenuse der Mittelpunkt des Umkreises. Die Hypotenuse ist dann der Durchmesser des Umkreises.
Bestimmen Sie eine Gleichung von in Koordinatenform und zeigen Sie, dass die Gerade in liegt. (5 P)
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Eine Gleichung von E in Koordinatenform
Die beiden Vektoren und sind die Richtungsvektoren der Ebene .
Man berechnet einen Normalenvektor der Ebene mit dem Kreuzprodukt der beiden Richtungsvektoren:
Die allgemeine Normalenform lautet:
Setze z.B. die Koordinaten des Punktes für den Vektor und den berechneten Normalenvektor ein.
Setze und ein.
Multipliziere das Skalarprodukt aus.
Vereinfache.
Eine Gleichung von in Koordinatenform lautet:
Die Gerade g liegt in E
(siehe auch Lagebeziehungen von Geraden und Ebenen)
Setze in ein:
Setze in ein.
Löse die Klammern auf.
Vereinfache.
Man hat eine wahre Aussage erhalten, d.h. alle Punkte von liegen in .
Begründen Sie ohne Rechnung, dass g in der -Ebene liegt. (1 P)
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In der Geradengleichung ist beim Aufpunkt und auch beim Richtungsvektor . Damit liegt die Gerade in der -Ebene.
In einem Modell für einen Küstenabschnitt am Meer beschreibt die -Ebene die horizontale Wasseroberfläche und die Gerade die Uferlinie. Die Ebene stellt im betrachteten Abschnitt den Meeresboden dar. Eine Boje schwimmt auf der Wasseroberfläche an der Stelle, die dem Koordinatenursprung entspricht (vgl. Abbildung). Eine Längeneinheit entspricht einem Meter in der Realität.
Bestimmen Sie die Größe des Winkels, unter dem der Meeresboden gegenüber der Wasseroberfläche abfällt. (3 P)
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Für den Schnittwinkel zweier Ebenen gilt:
Dabei sind und die Normalenvektoren der beiden Ebenen.
Der Meeresboden ist die Ebene mit und
.
Die horizontale Wasseroberfläche ist die -Ebene mit dem Normalenvektor und
Setze die Vektoren und ihre Beträge ein.
Berechne das Skalarprodukt.
Man hat die Gleichung erhalten.
Durch Anwendung der Umkehrfunktion des Kosinus kann der Winkel berechnet werden. (Man benutzt auf dem Taschenrechner die Funktion .)
Der Schnittwinkel, unter dem der Meeresboden gegenüber der Wasseroberfläche abfällt, beträgt rund .
Ein Fotograf soll für ein Reisemagazin Unterwasserfotos aufnehmen.
Der Fotograf schwimmt entlang der kürzestmöglichen Strecke von der Uferlinie zur Boje. Ermitteln Sie die Länge dieser Strecke. (4 P)
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Ein allgemeiner Punkt auf der Geraden hat die Gleichung:
Der Richtungsvektor von ist
Die Boje befindet sich im Koordinatenursprung , sodass der Vektor vom Koordinatenursprung zum Punkt zeigt. Für den kürzesten Abstand muss der Vektor senkrecht auf dem Richtungsvektor der Geraden stehen. Das Skalarprodukt der beiden Vektoren muss null sein.
Löse die Klammern auf.
Löse nach auf.
Umformung: -10
Umformung: :5
Setze in ein.
Der Betrag des Vektors ist der gesuchte Abstand :
Die kürzestmögliche Strecke von der Uferlinie zur Boje hat etwa die Länge .
Von der Boje aus taucht der Fotograf senkrecht bezüglich der Wasseroberfläche nach unten bis zu einer Stelle, deren Abstand zum Meeresboden genau drei Meter beträgt und im Modell durch den Punkt dargestellt wird.
Bestimmen Sie rechnerisch, welche Tiefe unter der Wasseroberfläche der Fotograf bei diesem Tauchvorgang erreicht. (5 P)
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Man erstellt die Gleichung einer Geraden , die im Ursprung beginnt und senkrecht zur Wasseroberfläche verläuft.
Der Richtungsvektor der Geraden ist der Vektor .
Für Abstandsberechnungen wird die Hessesche Normalenform verwendet:
Man bringt die Ebene in diese Form:
bzw.
Gesucht ist der Punkt, der auf der Geraden liegt und von der Ebene den Abstand hat. Dazu setzt man einen allgemeinen Punkt der Geraden in ein und verlangt, dass dieser Abstand beträgt.
Setze den Punkt ein.
Der Abstand soll betragen.
Umformung: \cdot 3
Fallunterscheidung:
Fall : Wenn ist, dann liegen der Punkt und der Ursprung auf verschiedenen Seiten der Ebene .
Fall : Wenn ist, dann liegen der Punkt und der Ursprung auf derselben Seite der Ebene .
Betrachtet man die Abbildung, dann sieht man, dass der Koordinatenursprung und der Punkt auf derselben Seite der Ebene liegen, d.h. der Fall gilt:
bzw.
Umformung: +35
Löse nach auf.
Umformung: :(-2)
Der Punkt hat die Koordinaten , d.h er liegt unter der Meeresoberfläche. Der Fotograf erreicht eine Tiefe von .
Drei kleine farbenfrohe Seesterne befinden sich am Meeresboden und werden im Modell durch die Punkte , und dargestellt. Der Fotograf bewegt sich für seine Aufnahmen von der Stelle aus, die im Modell durch den Punkt beschrieben wird, parallel zum Meeresboden. Das Kameraobjektiv zeigt dabei senkrecht zum Meeresboden und hat ein kegelförmiges Sichtfeld mit einem Öffnungswinkel von (vgl. Abbildung).
Beurteilen Sie, ob der Fotograf auf diese Weise eine Stelle erreichen kann, an der er alle drei Seesterne gleichzeitig im Sichtfeld der Kamera sehen kann. (3 P)
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Das Sichtfeld ist kegelförmig mit einem Öffnungswinkel von . Deshalb bilden die Mantellinie des Kegels, die Höhe und der Radius ein gleichschenkliges Dreieck.
Der Kegeldurchmesser ist dann
Die drei Punkte , und auf dem Meeresboden liegen in einem Kreis mit dem Durchmesser .
Da ist, gibt es eine Stelle, an der der Fotograf alle drei Seesterne gleichzeitig im Sichtfeld der Kamera sehen kann.