Gegeben ist die Funktion mit maximaler Definitionsmenge .
Geben Sie sowie eine Gleichung der waagrechten Asymptote des Graphen von an. (2P)
Lösung anzeigen
Bei einer gebrochen-rationalen Funktion darf der Nenner nicht null sein.
Für die Berechnung der Definitionslücken setze den Nenner gleich null.
Umformung: +9
Löse nach auf.
Umformung: \sqrt{}
Die beiden Nullstellen des Nenners müssen aus dem Definitionsbereich ausgeschlossen werden
Für die Gleichung der waagrechten Asymptote des Graphen von berechnet man den Grenzwert , indem die höchste Potenz von (das ist hier ) ausgeklammert wird.
Der Graph von hat die waagrechte Asymptote .
Zeigen Sie, dass der Graph von in genau einem Punkt eine waagrechte Tangente besitzt. (3P)
Lösung anzeigen
Besitzt der Graph von in genau einem Punkt eine waagrechte Tangente, so heißt das, die erste Ableitung der Funktion an dieser Stelle muss null sein:
Berechne zunächst mithilfe der Quotientenregel:
mit und
Berechne die Ableitungen und :
und und setze alle Terme in die Formel für die Quotientenregel ein.
Setze und ein.
Berechne den Zähler.
Vereinfache.
Die erste Ableitung der Funktion lautet:
Setze nun :
Ein Bruch hat dann den Wert null, wenn der Zähler gleich null ist:
Der Graph von hat in genau eine waagrechte Tangente an der Stelle .