Die Hessesche Normalenform ist eine spezielle Form einer Ebenengleichung.
Sie ist nach dem deutschen Mathematiker Ludwig Otto Hesse (1811-1874) benannt.
Mithilfe der Hesseschen Normalenform kann
- der Abstand eines Punktes von einer Ebene berechnet werden,
- kann man eine Aussage über die Lage eines Punktes bzgl. einer Ebene erhalten.
Die Gleichung der Hesseschen Normalenform
Wie erstellt man die Hessesche Normalenform?
Der Normalenvektor muss normiert werden. Dazu wird der Vektor durch seinen Betrag geteilt und man erhält den Normaleneinheitsvektor
Man prüft nun, ob ist. Ist das nicht der Fall, muss die Richtung des Normaleneinheitsvektors umgedreht werden. Dazu multipliziert man den Normaleneinheitsvektor mit .
Dann ist die Hessesche Normalenform:
oder
Abstandsberechnungen
Abstand der Ebene vom Koordinatenursprung
Abstand eines Punktes von der Ebene
Setzt man in den Term der Hesseschen Normalenform für den Vektor den Ortsvektor eines Punktes ein, so erhält man eine Zahl.
Der Betrag dieser Zahl ist der Abstand des Punktes von der Ebene .
Lage eines Punktes bezüglich einer Ebene
Der Ortsvektor des gegebenen Punktes wird in den Term der Hesseschen Normalenform für den Vektor eingesetzt und man erhält eine Zahl.
- Die Zahl ist positiv, dann liegt in dem Halbraum, in dem nicht liegt (siehe Abbildung )
- Die Zahl ist negativ, dann liegt in dem Halbraum in dem liegt (siehe Abbildung )
- Die Zahl ist null, dann liegt in der Ebene
Hessesche Normalenform für eine Ebene in Koordinatenform
Wie erstellt man die Hessesche Normalenform?
Voraussetzungen
- Die Ebene ist in Koordinatenform gegeben
- Der Wert von ist positiv.
- Falls negativ sein sollte, wird die Gleichung mit multipliziert.
Umwandlung der Koordinatenform in die Hessesche Normalenform
Man bringt auf die linke Seite.
Der Normalenvektor wird abgelesen.
Man berechnet den Betrag des Normalenvektors.
Die Ebenengleichung wird durch den Betrag des Normalenvektors geteilt.
Abstandsberechnungen
Abstand der Ebene vom Koordinatenursprung
Abstand eines Punktes von der Ebene
Setzt man in den Term der Hesseschen Normalenform die Koordinaten eines Punktes ein, so erhält man eine Zahl.
Der Betrag dieser Zahl ist der Abstand des Punktes von der Ebene .
Lage eines Punktes bezüglich einer Ebene
Die Koordinaten eines gegebenen Punktes werden in den Term der Hesseschen Normalenform für , und eingesetzt und man erhält eine Zahl:
- Die Zahl ist positiv, dann liegt in dem Halbraum, in dem nicht liegt (siehe Abbildung )
- Die Zahl ist negativ, dann liegt in dem Halbraum, in dem liegt (siehe Abbildung )
- Die Zahl ist null, dann liegt in der Ebene
Hessesche Normalenform für eine Ebene in Parameterform
Die Ebene ist in Parameterform gegeben.
Um die Hessesche Normalenform dieser Ebene zu ermitteln, berechnet man den Normalenvektor über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) der Richtungsvektoren dieser Ebene und setzt dann und in die Gleichung ein: