Es gibt insgesamt Möglichkeiten, wie drei verschiedene Ebenen zueinander liegen können. Diese Möglichkeiten werden in diesem Artikel vorgestellt.
1. Beispiel für drei parallele Ebenen
1.1 Ebenengleichungen
1.2 Analyse der Normalenvektoren
Bei drei parallelen Ebenen sind die Normalenvektoren Vielfache voneinander. Die Normalenvektoren sind damit parallel zueinander. Hier gilt: . Dies hat zur Folge, dass die Ebenen identisch oder parallel zueinander sind.
Hier gilt: , und . (Die Ebenengleichungen sind keine Vielfache voneinander). Die 3 Ebenen sind (echt) parallel zueinander.
1.3 Schnittgeraden
Parallele Ebenen schneiden sich nicht, d.h. es gibt keine Schnittgeraden.
2. Beispiel für zwei parallele Ebenen und eine dazu nicht parallele Ebene.
2.1 Ebenengleichungen
2.2 Analyse der Normalenvektoren
Es gilt hier: . Die beiden Normalenvektoren sind kollinear (parallel).
Außerdem ist , d.h. die Ebene ist (echt) parallel zu .
ist nicht parallel zu bzw. , denn und .
2.3 Schnittgeraden
Die beiden parallelen Ebenen und werden von geschnitten, d.h. es gibt verschiedene Schnittgeraden.
(schwarze Gerade in der Abbildung)
(rote Gerade in der Abbildung)
Beide Schnittgeraden haben den gleichen Richtungsvektor. Sie sind also parallel zueinander.
Wie werden die beiden Schnittgeraden berechnet?
Betrachte die Ebenengleichungen und :
Rechne
Eine Variable ist frei wählbar.
Setze
Löse Gleichung nach auf und setze und ein:
Untereinander geschrieben:
Die Schnittgerade hat die Gleichung
Betrachte die Ebenengleichungen und :
Rechne
Eine Variable ist frei wählbar.
Setze
Löse Gleichung nach auf und setze und ein:
Untereinander geschrieben:
Die Schnittgerade hat die Gleichung
3. Beispiel für drei nicht zueinander parallele Ebenen mit drei Schnittgeraden
3.1 Ebenengleichungen
3.2 Analyse der Normalenvektoren
Die Normalenvektoren der 3 Ebenen sind keine Vielfache voneinander:
, und
In diesem Fall stellt man fest, dass die drei Normalenvektoren komplanar sind.
, ,
Der Normalenvektor der Ebene ist als Linearkombination der beiden anderen Normalenvektoren und darstellbar: .
Damit sind die drei Normalenvektoren linear abhängig. Sie sind komplanar, d.h. sie liegen in einer Ebene.
3.3 Schnittgeraden
Jede Ebene schneidet sich mit den beiden anderen Ebenen, d.h. es gibt 3 verschiedene Schnittgeraden.
(schwarze Gerade in der Abbildung)
(rote Gerade in der Abbildung)
(blaue Gerade in der Abbildung)
Alle drei Schnittgeraden haben den gleichen Richtungsvektor. Sie sind also parallel zueinander.
Wie werden die 3 Schnittgeraden berechnet?
Betrachte die Ebenengleichungen und :
Rechne
Eine Variable ist frei wählbar.
Setze
Löse Gleichung nach auf und setze und ein:
Untereinander geschrieben:
Die Schnittgerade hat die Gleichung
Betrachte die Ebenengleichungen und :
Rechne
Eine Variable ist frei wählbar.
Setze
Löse Gleichung nach auf und setze und ein:
Untereinander geschrieben:
Die Schnittgerade hat die Gleichung
Betrachte die Ebenengleichungen und :
Rechne
Eine Variable ist frei wählbar.
Setze
Löse Gleichung nach auf und setze und ein:
Untereinander geschrieben:
Die Schnittgerade hat die Gleichung
3.4 Lösung des linearen Gleichungssystems (LGS)
Wird das LGS mit dem Gaußverfahren gelöst, erhältst du in der letzten Zeile der erweiterten Koeffizientenmatrix folgenden Ausdruck: .
Ausführlich geschrieben lautet diese Zeile: .
Diese Gleichung hat keine Lösung, d.h. das LGS hat keine Lösung. Es gibt keinen gemeinsamen Punkt und keine gemeinsame Gerade für die Ebenen. Allerdings existieren, wie oben gezeigt, drei verschiedene Schnittgeraden.
Lösung des LGS mit dem Gaußverfahren
4. Beispiel für drei verschiedene Ebenen mit einer Schnittgeraden
4.1 Ebenengleichungen
4.2 Analyse der Normalenvektoren
Die Normalenvektoren der 3 Ebenen sind keine Vielfache voneinander:
, und
In diesem Fall stellt man fest, dass die drei Normalenvektoren komplanar sind.
, ,
Der Normalenvektor der Ebene ist als Linearkombination der beiden anderen Normalenvektoren und darstellbar: .
Damit sind die drei Normalenvektoren linear abhängig. Sie sind komplanar, d.h. sie liegen in einer Ebene.
4.3 Schnittgeraden
In diesem Fall schneiden sich alle drei Ebenen in einer Geraden. Die Schnittgerade (rot eingezeichnet) hat die Gleichung:
Wie wird die Schnittgerade berechnet?
Betrachte die Ebenengleichungen und :
Aus folgt:
Eine Variable ist frei wählbar.
Setze
Löse Gleichung nach auf und setze und ein:
Untereinander geschrieben:
Der Richtungsvektor der Geraden kann noch mit multipliziert werden, sodass die Schnittgerade folgende Gleichung hat:
Die berechnete Schnittgerade zwischen den Ebenen und liegt auch in der Ebene .
Setze in die Ebenengleichung ein.
Löse die Klammern auf.
Du hast eine wahre Aussage erhalten, d.h. die Gerade liegt auch in der Ebene .
Damit haben alle drei Ebenen eine gemeinsame Schnittgerade, die Gerade .
4.4 Lösung des linearen Gleichungssystems (LGS)
Wird das LGS mit dem Gaußverfahren gelöst, erhältst du in der letzten Zeile der erweiterten Koeffizientenmatrix folgenden Ausdruck: .
Ausführlich geschrieben lautet diese Zeile: .
Diese Gleichung hat unendlich viele Lösungen, d.h. das LGS hat unendlich viele Lösungen.
Da in diesem LGS keine identischen Ebenen auftreten, bedeutet das, alle Lösungen des LGS liegen auf einer Geraden. Die Ebenen haben eine gemeinsame Schnittgerade.
Lösung des LGS mit dem Gaußverfahren
5. Beispiel für drei verschiedene Ebenen mit einem Schnittpunkt
5.1 Ebenengleichungen
5.2 Analyse der Normalenvektoren
Die Normalenvektoren der 3 Ebenen sind keine Vielfache voneinander:
, und
Die Normalenvektoren sind linear unabhängig, denn die Gleichung ist nur für erfüllt.
5.3 Schnittgeraden
Jede Ebene schneidet sich mit den beiden anderen Ebenen, d.h. es gibt verschiedene Schnittgeraden. Diese Schnittgeraden wiederum schneiden sich in einem Punkt . Dieser Punkt ist der Schnittpunkt der Ebenen. (Die Gleichungen der Schnittgeraden sind hier nicht von Interesse.)
5.4 Lösung des linearen Gleichungssystems (LGS)
Wird das LGS mit dem Gaußverfahren gelöst, erhältst du in der letzten Zeile der erweiterten Koeffizientenmatrix folgenden Ausdruck: .
Ausführlich geschrieben lautet diese Zeile: .
Somit ist . Die anderen Werte und ergeben sich aus dem Gleichungssystem. Das LGS hat eine eindeutige Lösung:
Die Ebenen schneiden sich in einem Punkt .
Lösung des LGS mit dem Gaußverfahren
Die Zeile lautet ausgeschrieben:
Die Zeile lautet ausgeschrieben:
Setze in Zeile ein:
Damit hat das LGS die Lösung: