Das Gaußverfahren ist ein Verfahren, um lineare Gleichungssysteme zu lösen. Dabei wird das Additionsverfahren auf die erweiterte Koeffizientenmatrix angewandt.
Die Koeffizientenmatrix wird so umgeformt, dass unter der Diagonalen nur noch Nullen stehen, sie ist dann in Zeilenstufenform:
Mit dieser Form lassen sich nun ganz einfach von unten nach oben die Einträge des Lösungsvektors berechnen.
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Die Einträge des Lösungsvektors sind die einzelnen Lösungen der Variablen des Gleichungssystems. Sind zum Beispiel in einem Gleichungssystem die Unbekannten und , stehen im Lösungsvektor drei Einträge für die Werte dieser Unbekannten. Setzt man die Werte für die Unbekannten ein, werden alle Gleichungen des Gleichungssystems erfüllt.
Beispiel
Im Folgenden wird dir die Vorgehensweise beim Gaußverfahren mithilfe eines Beispiels erklärt.
Nimm an, du hast folgendes Gleichungssystem gegeben:
Zunächst solltest du es zu einer erweiterten Koeffizientenmatrix umschreiben:
Als ersten Schritt des Gaußverfahrens verwendest du jetzt das Additionsverfahren, um die beiden Einträge, die jetzt orange markiert sind auf null zu bringen.
Dazu ziehst du von der zweiten Zeile das doppelte der ersten Zeile ab . Anschließend ziehst du von der dritten Zeile die erste Zeile mit multipliziert ab :
Jetzt gibt es in deiner erweiterten Koeffizientenmatrix nur noch einen Eintrag unter der Diagonalen, der nicht Null ist, in der Matrix ist er grün markiert.
Damit auch in diesem Eintrag der Matrix eine Null steht, ziehst du nun die Hälfte der zweiten Zeile von der dritten ab :
Damit ist deine Matrix jetzt in Zeilenstufenform, damit kannst du jetzt leicht die Lösung des Gleichungssystems bestimmen. Wie das geht, siehst du am besten, wenn du die Matrix nun wieder in der ursprünglichen Darstellung betrachtest:
Indem du Gleichung durch teilst, erhältst du für die Lösung . Diesen Wert kannst du nun in die anderen beiden Gleichungen einsetzen:
Hier kannst du jetzt Gleichung lösen, indem du erst subtrahierst: und dann durch teilst: . Auch diesen Wert kannst du jetzt in Gleichung einsetzen:
Wenn du diese Gleichung nach auflöst, erhältst du .
Die Lösung des Gleichungssystems ist also insgesamt:
Gauß-Jordan-Verfahren
Das Gauß-Jordan-Verfahren ist eine Abwandlung des Gaußverfahrens. Dabei wird ebenfalls das Additionsverfahren auf die erweiterte Koeffizientenmatrix angewendet. Allerdings wird die Koeffizientenmatrix hier so umgeformt, dass auf der Diagonalen überall der Wert steht und die restlichen Einträge der Matrix Nullen sind. Das sieht dann so aus:
Beim Gauß-Jordan-Verfahren musst du im Vergleich zum Gaußverfahren öfter das Additionsverfahren verwenden, allerdings hat es den Vorteil, dass du den Lösungsvektor sofort in der rechten Spalte ablesen kannst:
Beispiel
Hier kannst du anhand eines Beispiels verstehen, wie das Gauß-Jordan-Verfahren funktioniert:
Gleichungssystem | Erweiterte Koeffizientenmatrix | Rechenschritt |
|---|---|---|
erste Zeile geteilt durch und zweite Zeile | ||
zweite Zeile - erste Zeile | ||
zweite Zeile geteilt durch 4 | ||
erste Zeile + zweite Zeile | ||
Jetzt kann man die Lösungen ablesen: bzw. |
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Gauß-Jordan-Verfahren Schritt für Schritt
Wie auch beim Additionsverfahren kann man beim Gaußverfahren auf verschiedenen Wegen zum Ziel gelangen. Mit der Zeit entwickelt man einen Blick für geschickte Rechenschritte. Im Folgenden wird ein Vorgehen beschrieben, das zwar oft nicht das geschickteste ist, jedoch immer funktioniert.
Es wird anhand einer sogenannten -Matrix, also eine Matrix, die vier Zeilen und vier Spalten (und die Spalte für die konstanten Werte) hat, vorgeführt. Es funktioniert jedoch auch für größere oder kleinere Matrizen.
Gleichungssystem
Im folgenden Gleichungssystem sind Variablen und (wobei für die Zahlen von bis steht) die dazu gehörenden Koeffizienten aus . Die sind ebenfalls aus und bezeichnen die konstanten Terme.
Zugehörige erweiterte Koeffizientenmatrix
1. Schritt
Man erzeugt in der ersten Spalte lauter Einsen, indem man jede Zeile durch ihren ersten Eintrag (blau markiert) teilt.
2. Schritt
Man subtrahiert von der zweiten (dritten,…. letzten) Zeile die erste Zeile.
Jetzt "passt" schon die erste Spalte.
Bemerke: Damit die Grafiken übersichtlich bleiben, werden lange Terme durch neue Bezeichnungen ersetzt! Hier:
usw.
Die beiden ersten Schritte wiederholt man nun für die oben markierte kleinere Matrix und danach weiter bis auf der Diagonalen lauter Einsen und darunter Nullen stehen:
3. Schritt
Nun müssen noch alle Zahlen oberhalb der Einsen zu Nullen werden. Dazu arbeitet man sich von unten nach oben durch. Als Erstes wird eliminiert, indem man von der dritten Zeile das -fache der vierten Zeile subtrahiert.
An der Stelle berechnet sich dann nämlich .
Auf demselben Weg werden die Nullen an den Stellen von und erzeugt.
Man verfährt weiter so, um die übrigen Einträge zu eliminieren:
Nun kann man ganz rechts den Lösungsvektor ablesen.
Eingebetteter Serlo-Inhalt