Aufgabe B2
Die Skizze zeigt ein Schrägbild der Pyramide mit der Höhe , deren Grundfläche das gleichschenklige Dreieck ist. ist der Mittelpunkt der Basis . Es gilt: cm; ; .
Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.
Zeichnen Sie das Schrägbild der Pyramide , wobei die Strecke auf der Schrägbildachse und der Punkt links vom Punkt liegen soll. Für die Zeichnung gilt: (2 P)
; °.
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- Skizziere zuerst die Strecke auf die Schrägbildachse.
- Zeichne die Strecke in einem -Winkel dazu ein und vervollständige die Pyramide.
Schrägbild zeichnen
Zeichen zuerst die Schrägbildachse, die Strecke [] liegt auf der Schrägbildachse. Trage die Strecke [] in einem Winkel von zur Schrägbildachse an und vervollständige die Pyramide.
Berechnen Sie die Länge der Strecke , das Maß des Winkels sowie das Volumen der Pyramide . (3 P)
Ergebnisse: ; ;
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- Berechne die Länge der Strecke im Dreieck .
- Bestimme das Maß des Winkels mit dem Tangens im selben Dreieck.
- Berechne das Volumen der Pyramide. Achte darauf, dass das eine Pyramide mit dreieckiger Grundfläche ist.
Berechne die Länge der Strecke , das Maß des Winkels sowie das Volumen der Pyramide .
Länge der Strecke
Im rechtwinkligen Dreieck gilt mit dem Satz des Pythagoras:
Winkel
Mit dem Tangens gilt im rechtwinkligen Dreieck:
Volumen der Pyramide
Mit der Formel für das Volumen einer Dreieckspyramide gilt:
Für den Punkt gilt: .
Zeichnen Sie die Strecke in das Schrägbild zu 2a) ein und berechnen Sie das Maß des Winkels (3 P)
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Bestimme das Maß des Winkels . Berechne hierzu zuerst die Länge der Strecke .
Für den Punkt gilt: .
Zeichne die Strecke in das Schrägbild zu 2a) ein und berechne das Maß des Winkels .
Berechnung des Maßes des Winkels
Berechne zuerst die Länge der Strecke .
Berechne jetzt den Winkel
Für Punkte auf der Strecke gilt:
, (; ).
Parallelen zur Strecke durch die Punkte schneiden die Strecke in den Punkten und die Strecke in den Punkten . Die Dreiecke sind die Grundflächen von Pyramiden mit der Höhe , wobei gilt.
Zeichnen Sie die Pyramide und die Höhe für in das Schrägbild zu 2a) ein. (2 P)
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Skizziere die Punkte , und für in das Dreieck der Pyramide. Vervollständige diese Punkte zu einer Pyramide.
Die Spitze der inneren Pyramide ist durch auf der Strecke gegeben.
Skizze der Pyramide
Für Punkte auf der Strecke gilt:
, (; ).
Parallelen zur Strecke durch die Punkte schneiden die Strecke in den Punkten und die Strecke in den Punkten . Die Dreiecke sind die Grundflächen von Pyramiden mit der Höhe , wobei gilt.
Zeichne die Pyramide und die Höhe für in das Schrägbild zu 2a) ein.
Zeigen Sie rechnerisch, dass für das Volumen der Pyramiden in Abhängigkeit von x gilt: . (4 P)
Zwischenergebnis:
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- Berechne die Höhe der inneren Pyramide mit dem Strahlensatz.
- Bestimme das Volumen der inneren Pyramide mit der dreieckigen Grundfläche.
Die Länge der Seite kann auch mit dem Strahlensatz berechnet werden.
Zeige rechnerisch, dass für das Volumen der Pyramiden in Abhängigkeit von x gilt: .
Berechnung von (die Höhe)
Mit dem Strahlensatz gilt:
Berechnung des Volumens
Berechne mithilfe des Strahlensatzes:
Es gibt Pyramiden und , deren Volumen jeweils um kleiner ist als das Volumen der Pyramide .
Berechnen Sie die zugehörigen x-Werte. (3 P)
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- Berechne, wie groß das Zehntel des Volumens von ist.
- Setze diesen Wert gleich mit dem Term für das Volumen aus Teilaufgabe (e). -
- Löse diese quadratische Gleichung.
Es gibt Pyramiden und , deren Volumen jeweils um kleiner ist als das Volumen der Pyramide . Berechne die zugehörigen x-Werte.
Bestimmung der Volumina
Das Volumen der Pyramide
Das Volumen der Pyramiden und ist also .
Lösen nach
Löse die quadratische Gleichung (die mit dem Term aus Teilaufgabe (e) gegeben ist):