Aufgabe B1
Die Skizze zeigt das Fünfeck .
Es gilt: ; ; ; ; ;
; .
Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.
Zeichnen Sie das Fünfeck sowie die Strecken und .
Berechnen Sie sodann die Länge der Strecke und das Maß des Winkels . (4 P)
Teilergebnisse: ;
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- Zeichne die Strecken unter den vorgegebenen Winkeln.
- Konstruiere den Punkt mithilfe des Zirkels und verbinde das Fünfeck.
- Berechne die Länge von und das Maß von im Dreieck .
Zeichnen des Fünfecks
Zeichne zuerst mit dem Geodreieck die Strecke , den Winkel und die Strecke , und dann den Winkel und die Strecke .
Punkt ist durch und mit dem Zirkel konstruierbar.
(Alternativ kannst du auch mit dem Kosinussatz z.B. den Winkel berechnen und einzeichnen.)
Länge von , Winkel
Berechne die Länge der Strecke und das Maß des Winkels
Mit dem Satz des Pythagoras gilt im Dreieck :
Im gleichen Dreieck kann mit dem Tangens der Winkel berechnet werden:
Ermitteln Sie durch Rechnung den Flächeninhalt des Vierecks . (4 P)
Zwischenergebnis:
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- Berechne die Flächeninhalte der beiden Dreiecke, aus denen zusammengesetzt ist.
- Verwende die Winkelsumme im Dreieck und den Kosinussatz, um den Winkel zu berechnen.
Flächeninhalt des Vierecks
Ermittle durch Rechnung den Flächeninhalt des Vierecks
Das Viereck setzt sich aus den beiden Dreiecken und zusammen.
Berechne den Flächeninhalt der beiden Dreiecke und bilde die Summe.
Flächeninhalt des Dreiecks
= ;
Flächeninhalt des Dreiecks
Berechne zuerst den Winkel .
Berechne den Winkel mit dem Kosinussatz:
Berechne nun die Flächen des Dreiecks mit der Flächenformel für das allgemeine Dreieck:
Flächeninhalt des Vierecks
=
Zeigen Sie rechnerisch, dass für die Länge der Strecke und das Maß des Winkels gilt: (2 P)
cm; .
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- Berechne die Länge von mit dem Kosinussatz.
- Verwende den Sinussatz für den Winkel .
Berechnung der Länge von
Berechne die Strecke mit Hilfe des Kosinussatzes.
Berechnung der Größe des Winkels
Berechne den Winkel mit Hilfe des Sinussatzes.
Die Punkte und legen die Strecke fest, wobei gilt:
und .
Ergänzen Sie die Strecke in der Zeichnung zu 1a) und berechnen Sie den Flächeninhalt des Vierecks . (4 P)
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Berechne zuerst mit Hilfe des Strahlensatzes die Länge der Strecke
Berechne dann die Höhe im Trapez , sowie den Flächeninhalt.
Berechne den Flächeninhalt des Vierecks
Berechne zuerst mit Hilfe des Strahlensatzes die Länge der Strecke
Höhe im Trapez
Berechne jetzt die Höhe mit dem Sinus:
Flächeninhalt des Trapezes
Das Viereck ist ein Trapez. Die Formel zur Berechnung des Flächeninhaltes eines Trapezes lautet:
Ein Kreis mit dem Mittelpunkt berührt die Strecke im Punkt . Er schneidet die Strecke im Punkt und die Strecke im Punkt .
Zeichnen Sie den Kreisbogen und den Punkt in die Zeichnung zu 1a) ein.
Ermitteln Sie sodann rechnerisch den Flächeninhalt des Sektors, der von den Strecken und sowie dem Kreisbogen begrenzt wird. (3 P)
Zwischenergebnis:
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- Berechne die Länge der Strecke mit dem Sinus. Verwende hierzu, dass der Winkel ist.
- Bestimme mithilfe des Radius den Flächeninhalt des Kreissektors.
Berechne den Flächeninhalt des Kreissektor .
Um den Flächeninhalt des Kreissektors zu berechnen, musst Du zuerst die Länge der Strecke berechnen.
Der Winkel .
;
Berechne jetzt den Flächeninhalt des Kreissektor .
;