Ist der Abstand der beiden Kugelmittelpunkte gleich dem Betrag der Differenz der beiden Kugelradien, dann berühren sich die Kugeln in einem inneren Punkt .
Die beiden Kugeln haben eine gemeinsame Tangentialebene .
Gesucht sind die Berührpunktkoordinaten und die Gleichung der Tangentialebene.
Allgemeines Vorgehen
Berechnung von
Die Kugel hat den Mittelpunkt und den Radius . Die Kugel hat den Mittelpunkt und den Radius .
Berechne den Vektor und dann seinen Betrag .
Aus der nebenstehenden Abbildung kannst du folgende Vektorgleichung ablesen:
Dabei ist der Vektor ein Einheitsvektor:
Berechnung von
Mit Hilfe des berechneten Einheitsvektors und einem Punkt der Ebene (hier der Berührpunkt ) kann die Gleichung der Tangentialebene erstellt werden. Bei Verwendung von erhältst du die Hessesche Normalenform der Ebene bzw. nach Berechnung des Skalarproduktes eine Koordinatenform.
Alternative Berechnung der Tangentialebene
Setze den berechneten Berührpunkt und den Mittelpunkt der Kugel in die Gleichung für die Tangentialebene ein:
Beispiel:
Gegeben sind die Kugeln und
Berechne den gemeinsamen Berührpunkt und die Koordinatengleichung der Tangentialebene .
Haben die beiden Kugeln einen gemeinsamen inneren Berührpunkt?
Berechne den Vektor und dann seinen Betrag .
und
Der Abstand der beiden Kugelmittelpunkte beträgt und die Differenz der beiden Kugelradien beträgt auch .
Die beiden Kugeln berühren sich innen.
Berechnung von
Berechne den Vektor :
Dabei ist , und der Einheitsvektor ist .
Antwort: Der Berührpunkt hat die Koordinaten .
Berechnung von
Mit Hilfe des berechneten Einheitsvektors und einem Punkt der Ebene (hier der Berührpunkt ) kann die Gleichung der Tangentialebene erstellt werden. Bei Verwendung von erhältst du die Hessesche Normalenform der Ebene bzw. nach Berechnung des Skalarproduktes eine Koordinatenform.
Setze und
Das ist die Hessesche Normalenform der Tangentialebene.
Umwandlung in die Koordinatenform.
Berechne das Skalarprodukt.
Löse die Klammern auf.
Vereinfache.
Antwort: Die Hessesche Koordinatenform der Tangentialebene lautet: bzw. Tangentialebene als Koordinatengleichung:
Alternative Berechnung der Tangentialebene
Setze den Berührpunkt und den Mittelpunkt der Kugel in die Gleichung für die Tangentialebene ein.
Setze und ein.
Vereinfache.
Das ist die Normalenform der Tangentialebene.
Umwandlung in die Koordinatenform.
Berechne das Skalarprodukt.
Berechne die Klammern.
Fasse zusammen.
Umformung: :2
Vereinfache.
Antwort: Die Koordinatengleichung der Tangentialebene lautet:
Eingebetteter Serlo-Inhalt