Gegeben sind die Kugeln und
Zeige, dass sich die beiden Kugeln innen in einem Punkt berühren und gib seine Koordinaten an. Bestimme auch die Tangentialebene der beiden Kugeln.
Lösung anzeigen
Wenn zwei Kugeln sich innen berühren sollen, dann muss der Abstand der beiden Kugelmittelpunkte gleich dem Betrag der Differenz der beiden Kugelradien sein.
Zur Berechnung des Berührpunktes erstellst du eine Vektorgleichung mit . ist ein Einheitsvektor.
Für die Berechnung der Tangentialebene benutze den Vektor und den berechneten Berührpunkt .
Kugeln berühren sich
Berechne den Vektor und dann seinen Betrag .
und
Der Abstand der beiden Kugelmittelpunkte beträgt und die Differenz der beiden Kugelradien beträgt auch .
Die beiden Kugeln berühren sich innen.
Berechnung von
Aus der nebenstehenden Abbildung kannst du folgende Vektorgleichung ablesen:
Dabei ist
Dabei ist , und .
Antwort: Der Berührpunkt hat die Koordinaten .
Berechnung von
Mit dem eben berechneten Einheitsvektor und dem Berührpunkt , der ein Punkt der Ebene ist, kann die Gleichung der Tangentialebene erstellt werden.
Hinweis: Bei Verwendung des Einheitsvektors erhält man die Hessesche Normalenform der Ebene bzw. nach Berechnung des Skalarproduktes eine Koordinatenform.
Setze und ein.
Das ist die Hessesche Normalenform der Ebene.
Für die Umwandlung in die Koordinatenform berechne das Skalarprodukt.
Löse die Klammern auf.
Fasse zusammen.
Vereinfache.
Antwort: Die Hessesche Koordinatenform der Tangentialebene lautet: oder nur als Koordinatenform .
Alternative Berechnung der Tangentialebene
Setze den Berührpunkt und den Mittelpunkt der Kugel in die Gleichung für die Tangentialebene ein.
Setze und ein.
Vereinfache.
Das ist die Normalenform der Ebene.
Für die Umwandlung in die Koordinatenform berechne das Skalarprodukt.
Löse die Klammern auf.
Umformung: \cdot\left(-\dfrac{13}{40}\right)
Antwort: Die Koordinatengleichung der Tangentialebene lautet:
Graphische Darstellung
Die Abbildung ist nicht verlangt worden.
Sie dient nur zur Veranschaulichung.
