Gegeben ist eine Kugel mit , und ein Punkt mit auf der Kugel.
Berechne die Koordinate und gib die Gleichung der Tangentialebene im Punkt an.
Lösung anzeigen
Erstelle die Kugelgleichung und setze für den Punkt ein. Berechne . Mit dem Punkt und dem Kugelmittelpunkt kannst du die Tangentialebene aufstellen.
Aufstellen der Kugelgleichung
Kugel :
;
Setze den Mittelpunkt und ein.
Setze den Punkt nun in die Kugelgleichung ein:
Vereinfache.
Berechne das Skalarprodukt.
Berechne die Quadrate und vergiss nicht die binomische Formel anzuwenden.
Fasse die linke Seite zusammen.
Umformung: -81
Du hast die quadratische Gleichung erhalten. Diese kannst du mit der Mitternachtsformel (abc-Formel) oder pq-Formel lösen. Hier erfolgt die Lösung mit der pq-Formel. Lies die Werte für und ab und setze sie in die Formel ein: und
Setze und ein.
Vereinfache.
Fall -
. Diese Lösung entfällt wegen .
Fall +
Setze in ein.
Antwort: Der Punkt hat die Koordinaten .
Tangentialebene
Setze und in die Gleichung der Tangentialebene ein.
Setze und ein.
Vereinfache.
Diese Gleichung ist die Normalengleichung der Ebene.
Vereinfache.
Um die Koordinatengleichung zu erhalten, rechne das Skalarprodukt aus.
Löse die Klammern auf.
Fasse zusammen.
Antwort: Die Gleichung der Tangentialebene lautet:
Graphische Darstellung
Die nebenstehende Abbildung ist nicht verlangt worden.
Sie dient nur der Veranschaulichung.
