Gegeben sind eine Kugel mit Mittelpunkt , Radius und eine Gerade .
Für welchen Wert von ist die Gerade eine Tangente an die Kugel ? Gib auch den Berührpunkt an.
Lösung anzeigen
Stelle die Kugelgleichung in vektorieller Form auf und setze die Geradengleichung in die Gleichung ein. Damit eine Tangente ist, solltest du bei der Schnittpunktsberechnung nur eine Lösung erhalten. Die Diskriminante hat dann den Wert Null.
Aufstellen der Kugelgleichung
,
Setze die Gleichung der Geraden für den Vektor in die Kugelgleichung ein.
in einsetzen:
Fasse zusammen.
Vereinfache weiter.
Rechne das Skalarprodukt aus.
Löse die Klammern auf und vergiss dabei nicht die binomische Formel anzuwenden.
Fasse die linke Seite zusammen.
Umformung: -10
Klammere aus.
Du hast die quadratische Gleichung mit der Unbekannten erhalten. Diese Gleichung kannst du mit der Mitternachtsformel (abc-Formel) oder mit der pq-Formel lösen. Hier erfolgt die Lösung mit der Mitternachtsformel. Lies dazu die Werte für , und ab und setze sie in die Mitternachtsformel ein:
, ,
Setze die Werte , und ein.
Wenn die Gerade eine Tangente sein soll, dann darf es nur eine Lösung für die quadratische Gleichung geben. Die Diskriminante muss gleich Null sein.
Vereinfache die linke Seite. Vergiss nicht die binomische Formel anzuwenden.
Vereinfache.
Umformung: \cdot (-1)
Du hast die quadratische Gleichung mit der Unbekannten erhalten. Die Gleichung kannst du mit der Mitternachtsformel (abc-Formel) oder mit der pq-Formel lösen. Hier erfolgt die Lösung mit der Mitternachtsformel. Lies dazu die Werte für , und ab und setze sie in die Mitternachtsformel ein: , ,
Setze , , ein.
Vereinfache.
Vereinfache.
Fall:
Fall:
Antwort: Die quadratische Gleichung hat die Lösungsmenge:
Da es für zwei Lösungen gibt, erhältst du auch zwei Tangentengleichungen.
Setze in für nacheinander die beiden Werte und ein.
und
Berührpunkte berechnen
Da die Diskriminante den Wert Null hat, gibt es nur eine Lösung bei der Schnittpunktsberechnung zwischen Gerade und Kugel .
Der Term unter der Wurzel ist die Diskriminante .
Setze , da es nur eine Lösung geben soll.
Klammere im Zähler aus.
Kürze.
Du hast für einen Term erhalten, der die y-Koordinate des Richtungsvektors der Geraden enthält. Für die beiden berechneten y-Werte und erhältst du zwei Berührpunkte.
Für folgt
Setze in ein:
Für folgt
Setze in ein:
Antwort: Die beiden Berührpunkte haben die Koordinaten und .
Graphische Darstellung
Die nebenstehende Abbildung ist nicht verlangt worden.
Sie dient nur der Veranschaulichung.
Wähle für die Koordinate in der oben angegebenen Geraden die Werte und .
Welche Lage haben die beiden Geraden und bezüglich der Kugel ?
Lösung anzeigen
In Aufgabe a) hast du bereits die Gerade mit der Kugel geschnitten. Die Lösung der quadratischen Gleichung enthält die unbekannte Koordinate . Der Wert der Diskriminanten entscheidet über die Lage der Geraden gegenüber der Kugel. Berechne die Diskriminante mit den beiden y-Werten und entscheide dann über die Lage der beiden Geraden und bezüglich der Kugel .
Die oben berechnete Diskriminante lautet :
Setze nacheinander die gegebenen Werte für y ein.
Setze für den Wert ein.
Vereinfache.
Antwort: Die Diskriminante ist negativ, d.h. die quadratische Gleichung hat keine Lösung. Die Gerade schneidet die Kugel nicht. Die Gerade ist eine Passante.
Setze für den Wert ein.
Vereinfache.
Antwort: Die Diskriminante ist positiv, d.h. die quadratische Gleichung hat zwei Lösungen. Die Gerade schneidet die Kugel in zwei Punkten. Die Gerade ist eine Sekante.
Graphische Darstellung
Die nebenstehende Abbildung ist nicht verlangt worden.
Sie dient nur der Veranschaulichung.
ist eine Passante
ist eine Sekante
