Gegeben ist eine Kugel mit dem Mittelpunkt und dem Radius . Bestimme so, dass der Punkt auf der Kugel liegt.
Lösung anzeigen
Stelle die Kugelgleichung auf. Setze die Punktkoordinaten von für den Vektor ein und berechne das Skalarprodukt. Löse die erhaltene quadratische Gleichung mit der Mitternachtsformel oder der pq-Formel.
Stelle die Kugelgleichung auf:
Setze die Punktkoordinaten von für den Vektor in ein.
Den Punkt einsetzen.
Die linke Seite vereinfachen.
Berechne das Skalarprodukt.
Vereinfache und vergiss nicht die binomische Formel anzuwenden.
Fasse die linke Seite zusammen.
Umformung: -9
Du hast eine quadratische Gleichung mit der Unbekannten erhalten. Diese Gleichung kannst du mit der Mitternachtsformel (abc-Formel) oder pq-Formel lösen. Hier erfolgt die Lösung mit der pq-Formel.
Lies die Werte für und ab: ,
Setze die Werte für und ein.
Vereinfache.
Antwort: Die quadratische Gleichung hat die Lösungsmenge .
Da es für zwei Lösungen gibt, existieren auch zwei verschiedene Mittelpunkte. Es gibt demnach zwei Kugeln mit dem Radius , auf denen der Punkt liegt.
Graphische Darstellung
Die Abbildungen dienen nur zur Veranschaulichung. Sie sind nicht Teil der Aufgabenstellung.
Kugel mit , und
Kugel mit , und
