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Teilaufgabe a)
Koordinaten des Punkts C
Um die Koordinaten des Punktes C herauszufinden kannst du vom Ursprung nach und von nach mit dem Vektor gehen. Addiere den Vektor mit .
Der Vektor
Berechne den Vektor .
Setze in die obere Gleichung ein
= Quadrat
Zeige, dass die Seiten und senkrecht aufeinander liegen und gleichlang sind, um nachzuweisen, dass ein Quadrat ist.
Das Skalarprodukt von zwei senkrecht aufeinander liegenden Vektoren muss sein.
Berechne den Betrag der Vektoren:
Die Seitenfläche ergeben ein Quadrat.
Teilaufgabe b)
Ebene E=? in Normalenform:
Um eine Ebenenleichung in der Normalenform aufzustellen brauchst du zunächst einen Normalenvektor, den du aus zwei Vektoren aus der Ebene berechnest.Nehme und als Richtungsvektoren.Der Normalenvektor ist das Kreuzprodukt aus den Richtungsvektoren.
Da für die Bestimmung nur die Richtung und nicht die Länge des Normalenvektors entscheidend ist, kannst du ihn kürzen. Das ist vor allem für das Weiterrechnen sehr vorteilhaft.
Setze den Normalenvektor in die Ebenengleichung ein. Nehme als Aufpunkt einen der Eckpunkte des Quadrats ABCD.
Um auf den Ergebnis der Aufgabenstellung zu kommen, kannst du die Ebenengleichung in die Koordinatenform umwandlen. Laut der Aufgabenstellung ist dies jedoch nicht explizit verlangt. Beachte, dass wenn du einen anderen Aufpunkt als genommen hast, dann auch als Skalarprodukt nicht auf kommen musst.
Teilaufgabe c)
Schnittwinkel zwischen der Ebene und Ebene:
Die Ebene hat den Normalenverktor . Setze die Normalenvektoren in die Formel zur Berechnung des Schnittwinkels zwischen zwei Ebenen ein.
Fasse zusammen
Umformung: \left|\,\,\cos^{-1}\right.
Teilaufgabe d)
Ebene F = ?
Die Seiten ABCD und PQRS sind parallel zu einander. Somit müssen auch die Ebenen parallel sein und besitzen den selben Normalenvektor. Die Ebene F geht im Punkt P durch den Ursprung. Daher kommt als Skalarprodukt mit dem Normalenvektor 0 heraus.