Die Diagonalen und des Drachenvierecks schneiden sich im Punkt . Das Drachenviereck ist die Grundfläche des geraden Prismas . Der Punkt liegt senkrecht über dem Punkt . Es gilt: .
Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.
Zeichnen Sie das Schrägbild des Prismas wobei auf der Schrägbildachse und der Punkt links vom Punkt liegen soll. Für die Zeichnung: Die Strecken und schneiden sich im Punkt . Berechnen Sie das Maß des Winkels . [Ergebnis: ]
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Bei so langen Angaben ist es wichtig, sich nicht verwirren zu lassen und die Aufgabe Schritt für Schritt zu bearbeiten. Für diese Aufgabe solltest du die Eigenschaften eines Drachenvierecks kennen. Das Ziel ist es, das Schrägbild dieses Vierecks zu zeichnen.
Die wichtigsten Informationen hier sind, dass auf der Schrägbildachse bzw. auf der Zeichenebene liegt, der Verzerrungswinkel der Geraden und das Verzerrungsverhältnis beträgt. Damit kannst du anfangen.
liegt in der Zeichenebene, ist also auch in der Zeichnung lang.
kannst du direkt einzeichnen, da .
schneidet im Punkt , wobei genau in der Mitte von liegt. ist also lang, was unter dem Verzerrungverhältnis bedeutet. Zeichne diese Strecke mit einem Winkel von ein. Dasselbe machst du mit .
Nun kannst du alle schrägen Linien miteinander verbinden.
Vergiss nicht, dass die Strecken und sich im Punkt schneiden.
Du könntest an der Stelle nochmal die Angabe durchgehen und überprüfen, ob du alle Punkte berücksichtigt hast! Wenn ja, kannst du weiter mit dem Winkel machen.
Berechnung eines Winkels im rechtwinkligen Dreieck
Zu betrachten ist das Dreieck mit einem rechten Winkel bei , da senkrecht über steht. Überlege dir, welche Längen im Dreieck bekannt sind.
nach Angabe und da muss sein.
Gegeben sind also die beiden Katheten, daher musst du den Tangens benutzen:
Punkte liegen auf der Strecke . Die Winkel haben das Maß mit . Die Punkte sind zusammen mit den Punkten und die Eckpunkte gleichschenkliger Dreiecke mit der Basis . Zeichnen Sie das Dreieck sowie die Strecke für in das Schrägbild zu B 2.1 ein. Begründen Sie sodann, dass keines der Dreiecke gleichseitig ist.
(3 Punkte)
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Miss mit dem Geodreieck vom Punkt und ziehe eine Strecke. Der Schnittpunkt mit ist der Punkt .
Dies kannst du ohne Berücksichtigung auf etwaige Schräglagen machen, da sowohl als auch und und somit auch in der Zeichenebene liegen.
Eigenschaften eines gleichseitigen Dreiecks
Falls du die Eigenschaften eines gleichseitigen Dreiecks nicht mehr weißt, kannst du sie hier nochmal nachlesen.
Mit den Winkeln kannst du nichts anfangen, da du sie schwer ausrechnen kannst. Da du aber die Länge der Grundseite kennst, kannst du die Höhe des Dreiecks berechnen, falls dieses gleichseitig wäre.
Die Höhe eines gleichseitigen Dreiecks wäre also .
Überlege dir nun, welche Strecke die Höhe von darstellt und welche Längen sie annehmen kann.
Wenn du genau hinsiehst, erkennst du, dass die Höhe von ist, weil senkrecht in der Mitte () auf steht.
wäre am kleinsten, wenn und somit wäre.
Andererseits wäre am größten, wenn und somit wäre.
Die Höhe kann also nie erreicht werden, damit kann keines der Dreiecke gleichseitig sein.
Zeigen Sie, dass für die Länge der Strecken in Abhängigkeit von gilt:
Die Länge der Strecke ist minimal. Geben Sie den zugehörigen Wert für an.
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Berechnung einer Streckenlänge in Abhängigkeit eines Winkels
Vorüberlegungen: Die Strecken kommen in drei Dreiecken , und vor. und sind zwar rechtwinklig, du könntest also den Sinus benutzen, aber du kennst keinen zweiten Winkel in den beiden Dreiecken. Betrachtest du hingegen , siehst du, dass du zwar keinen rechten Winkel, aber gegeben hast, welcher der gegenüberliegende Winkel der gesuchten Strecke ist. Das bringt dich auf den Sinussatz.
Um festzulegen, welches Verhältnis du noch für den Sinussatz verwendest, beachte, dass die Länge der Strecke gegeben ist, die von jedoch nicht. Dies bringt dich auf
Jetzt kannst du nach auflösen. Beachte dabei die Supplemenbeziehungen, welche besagen, dass ist.
Nun ist noch die Größe des Winkels für die minimale Strecke gesucht. Betrachte dazu die gerade aufgestellte Formel für die Länge der Strecke . Diese wird minimal, wenn der Nenner am größten ist. Der Sinus erreicht sein Maximum bei . Damit muss sein, also ist .
Die Punkte sind die Spitzen von Pyramiden mit der Grundfläche und den Höhen . Die Punkte liegen auf der Strecke . Zeichnen Sie die Pyramide und die Höhe in das Schrägbild zu B 2.1 ein. Ermitteln Sie sodann durch Rechnung das Volumen der Pyramiden in Abhängigkeit von .
(3 Punkte)
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Einzeichnen der Pyramide
soll die Höhe unserer Pyramide sein, wobei auf der Strecke liegt. Da die Höhe senkrecht auf der Grundfläche steht, musst du also zunächst ein Lot von auf die Gerade fällen. Danach kannst du die Pyramide einzeichnen.
Berechnung des Volumens einer Pyramide
Das Volumen einer Pyramide berechnet sich aus:
Die Grundfläche unserer Pyramide ist ein Drachenviereck, dessen Flächeninhalt man wiederum berechnet mit .
Die Höhe der Pyramide ist nun die Länge der Strecke . Diese Strecke ist Teil von zwei rechtwinkligen Dreiecken und . In letzterem Dreieck haben wir keine Länge gegeben, während in die Länge der Strecke in Abhängigkeit von aus Aufgabe B 2.3 bekannt ist. Da auch in dieser Aufgabe das Volumen in Abhängigkeit von gesucht ist, liegt es nahe, dieses Dreieck zu betrachten, um die Länge berechnen zu können.
Dies können wir nun alles in die Formel für das Volumen der Pyramide einsetzen:
Das Volumen der Pyramide beträgt . Berechnen Sie das zugehörige Maß für .
(3 Punkte)
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Nutze die Formel aus der Teilaufgabe d). Diese kannst du mit gleichsetzen und nach auflösen.
Teile zunächst durch .
Um diese Gleichung lösen zu können, musst du zuerst den Nenner mit dem Additionstheorem für den Sinus vereinfachen.
Berechne nun die Werte für und . Setze diese direkt in die Formel ein.
Multipliziere mit dem Nenner .
Teile beide Seiten durch .
Jetzt kannst du den Bruch aufteilen, sodass auf der linken Seite zwei Brüche entstehen.
Kürze den ersten Bruch mit . Im zweiten Bruch hast du . Das wird nach der Definition des Tangens zu: .
Multipliziere beide Seiten mit .
Ziehe auf beiden Seiten ab.
Löse diese Gleichung so auf, dass auf der rechten Seite nur noch steht.
Wende den auf die Gleichung an und berechne mit dem Taschenrechner.
Für das Volumen von der Pyramide ergibt sich ein Winkel von .
Begründen Sie, dass die Volumina der Pyramiden mit der Grundfläche und der Pyramiden mit der Grundfläche stets im Verhältnis stehen.
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Volumen von Pyramiden berechnen
Um schließen zu können, in welchem Verhältnis die Volumina der beiden Pyramiden stehen, solltest du zuerst die Formel zur Volumenberechnung von Pyramiden aufstellen.
Für deine Pyramide bedeutet dies:
Beachte dabei, dass die Grundfläche ein Dreieck, mit Grundseite und Höhe ist. kann deshalb als Höhe benutzt werden, weil in einem Drachenviereck die Diagonalen senkrecht aufeinander stehen.
Aus B 2.4 weißt du, dass die Strecke senkrecht auf der Grundfläche steht. Diese stellt damit die Höhe deiner Pyramide dar.
Für deine Pyramide bedeutet dies wiederum:
Der einzige Unterschied zur vorherigen Formel besteht also in der Höhe des Dreiecks als Grundseite statt .
Wie kannst du also das Verhältnis begründen?
Betrachte dafür beide Volumen deiner Pyramiden
und stelle sie direkt in ein Verhältnis:
Dann siehst du, dass du fast alles kürzen kannst:
Du könntest das natürlich auch mit einem Text begründen, entscheidend dabei ist, dass die Länge der Strecke doppelt so lang ist, wie , wodurch ein Verhältnis von entsteht!
Wenn du möchtest, kannst du dir im folgenden Video eine Schritt-für-Schritt-Lösung der Aufgabe anschauen.
Eingebetteter Serlo-Inhalt