Gegeben ist die Funktion mit maximaler Definitionsmenge und Wertemenge der Graph von wird mit bezeichnet.
Geben Sie und an. (2 BE)
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Hierfür musst du wissen, was ein Definitionsbereich und ein Wertebereich ist.
Definitionsbereich
Die Logarithmusfunktion ist für alle reellen Zahlen größer als definiert. Du berechnest also, wann das Innere des Logarithmus größer als ist.
Umformung: -3
Umformung: :2
In deiner Definitionsmenge dürfen also nur -Werte sein, die größer als sind. Das schreibt man als Intervall auf:
Wertebereich
Der Logarithmus "spuckt" Werte von bis aus, also ist .
Ermitteln Sie die Gleichung der Tangente an im Schnittpunkt von mit der x-Achse. (4 BE)
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Hier musst du wissen, wie man einen Schnittpunkt berechnet und eine Tangente aufstellt.
Schnittpunkt mit der x-Achse
Zuerst berechnet man den Schnittpunkt des Graphen von mit der -Achse, indem man den Funktionsterm gleich setzt:
Eine ln-Funktion kann man mit Hilfe der e-Funktion auflösen.
Es ist nach dem Schnittpunkt gefragt, also musst du das Ergebnis noch in Punktschreibweise angeben:
Tangente aufstellen
Anschließend ermittelt man die Steigung von an der Stelle . Das entspricht der Ableitung von an der Stelle . Für die Ableitung musst du wissen, wie man die ln-Funktion ableitet, und die Kettenregel verwenden:
Für die Steigung an der Stelle musst du diesen Wert in die Ableitung einsetzen:
Damit hat die gesuchte Tangente den Anstieg .
Da es sich bei um den Schnittpunkt von mit der -Achse handelt, gilt .
Tangente mittels Tangentenformel
Nach der Formel für die Tangente an einen Graphen kann man die Tangentengleichung wie folgt ermitteln:
Alternative: Tangente durch Punkt einsetzen
Dazu setzt du in die allgemeine Tangentengleichung zuerst die Steigung ein: .
Nun setzt du den Tangentenpunkt in die Tangentengleichung ein und löst nach auf.
Damit ist die Gleichung für die Tangente .